欢迎来到全oj最最最最最最全的个人简介先看完再下结论 你们知道我讲这句话花了多少时间吗！！！！！！ 整整三秒！！ 也就是0.05分钟！！！ 是8.3333333e-4小时！！！！ 相当于3.47222222e-5天！！！！！ 太恐怖了！！！！ 你们竟浪费我如此多时间！！厚颜无耻！！

重大事件

2026-2-28发现 鲍余余超过徐康杰了>>>

2026-2-23发现 郭克垚把我，陈思源，俞玄弈，鲍余余，王洛植的主页混在一起，大家一起喷他

2026-2-19发现 鲍余余要超过 徐康杰了>>>

私聊

龚子搴 某些人不要无耻的用AI 一分钟一道题目 还抄袭他人个人简介 不要给脸不要脸 你他妈算老几 未经他人允许 盗窃他人简介 和偷东西有什么区别 你妈妈没教过你盗窃是不对的吗 难道你连输出Hello world都要抄吗 有几道题目间隔30秒抄的也未必太明显了！

Diss区

悬赏计算公式：OI分数×diss值(0.1~10)

通缉令王洛植￥145090

通缉令鲍余余￥120440

通缉令肖亦为￥21606

从夯到拉锐评

夯

暂无

顶尖

徐康杰

人上人

俞玄弈

NPC

肖亦为

拉完了

鲍余余

——————————————————————————————————————————

肖亦为

出的题基本全是入门，全OJ交题数最多，AC率却低的可怜，鉴于是地表第三强教练，勉强给到NPC。

鲍余余

stronger一个，甚至 自己diss自己~ ps.多老的梗了，连二级只考80分，没啥好说的了，直接给到拉。

徐康杰

虽然是OJ最强学员，头衔顶天，但近期不活跃，一个月内完全不交题，全靠2025三四五月交的题顶着，只能给到顶尖。

俞玄弈

宣称“oj最最最丰富个人主页”，实际上75%都是废话，但有用的超有用，而且已经半步铂金，给到人上人。

OJ新闻

| 2026.01.11 肖亦为称“自己的通过率是全网最低”？No-no-no，这位大能才是！>>> | 2025.10.26 王洛植等人在 2025.10.12 刷太多题导致newOJ服务器崩溃？>>> | 2025.10.12 别出声，这俩人在互掐，快去围观！郭克垚>>>和陈思源>>> | 2025.09.06 钻石新星——郭克垚>>> | 2025.08.24 飞速发展的新人—— 鲍余余>>> | 2025.08.14 张以恒和包严恺 ACM下降又隔人，丝毫不影响互相! | 2025.08.10 肖亦为：第一 第二没学得好 | 2025.07.28 又一铂金？郭克垚 回应>>> | 2025.07.11 震惊！曾经ACM第三的代开元如今登上9米大跳台？速看>>>

oj旧闻

某个姓鲍名余余的PERSON好嚣张啊!!!他说我们的肖老师不是真老师，还说我很狂!!!必须灭了他!!! newoj最“没用”的简介 看了才知道有没有用 ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ฏ้้้้้้้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曾经比郭克垚多一大截的王洛植如今跌落神坛？ “人家没刷几个月你们都赶不上！”徐康杰成仙之路 郭克垚凭借极强的钻石四星骗了老师一杯奶茶？？！！ 鲍余余太嚣张了！！>> 鲍余余急了 >> 鲍余余的首页似乎太多了吧鲍余余>>

oj 题道枢纽

主页方向 题目方向

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训练方向

整数运算 小数运算 拆位练习 双分支 多分支 分支练习 基础—循环输出 合计计数 循环嵌套—图形输出 循环嵌套—应用

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比赛方向 测评方向 ACM方向 OI方向 团队方向 老OJ方向

一起玩游戏（bloxd.io）

查看详细>>> 太卡了 下次别玩了 快捷键：ctrl+win+d ctrl+win+方向 战争模拟器查看详细>>> 快捷键：W,S,D,A移动方向 藏宝网站>>>

一些不正经的东西

🚀 欢迎来到【龚子搴】的 OJ 主页 —— 一个“不太正经”的算法修仙之地 UID: 55b053b475934ff2b62b59946f3e0b70 用户名: 龚子搴 （Gong Ziqian） 状态: 可能正在爆肝 / 摆烂 / 整活 / 偷偷AK全世界

🧠 关于我（正经版 👀） 一个在算法海洋里遨游（并时不时淹死）的 OIer / ACMer / 算法竞赛爱好者 目前实力定位：人上人 / NPC之上 / 拉完了的尽头 座右铭：“代码写得烂，不如段子讲得好。” 口头禅：“这题不是有手就行？” → 然后 TLE 了 🏆 我的“实力”分布（自评，请勿当真 😎） 类型 水平评级 说明 普通选手 夯 刷 10 题退赛的那种 一般选手 铁牌选手 能过样例，但过不了大数据 进阶选手 铜→银 有思路但总想不出来最后一步 高端选手 人上人 能看懂题解并且自己写出来 顶尖选手 神仙 / 大佬 代码一次过，还能讲题 我？ NPC之上的存在 “这题我熟，但我不写” 💡 温馨提示：本人的实力波动较大，可能上一秒 AK，下一秒连 Hello World 都编译不过。

📊 我的刷题数据（可能造假，慎信 🤥） 总提交数：10086+（其中 9999 次是调试） AC 题数：1337（寓意“程序员浪漫”） WA 次数：∞（无限趋近于无穷大） TLE 次数：比你的耐心还多 RE / MLE：系统说我的代码“吃内存太猛”，建议节食 最擅长题型：“签到题”（因为不会做难的） 最讨厌题型：数学题 / DP / 暴力优化（看到就跑） 📈 趋势预测：按照目前摆烂速度，预计下个月刷题数归零。

📚 我的题解 & 学习笔记（可能没更新） 【题解】1000题签到合集：有手就行系列 【题解】DP入门？别问，问就是背模板 【笔记】线段树：我写了一下午，调了一星期 【笔记】图论：只会Floyd，还经常写错 【必看】《如何在一小时内把题解写出博客感》 【隐藏】《论如何优雅地甩锅给编译器》 🤪 温馨提示：部分题解可能只有标题，内容靠脑补。

🤡 整活专区（欢迎围观）

1. OJ 人物评级（纯属娱乐，切勿对号入座 😂） 等级 代表生物 特征描述 夯 小白兔 🐰 看到题目说“不会” 普通 小学生 🧒 会写 for 循环 进阶 中学生 🎓 会写暴力，但优化不会 人上人 程序员 👨💻 能写 DP，但调一天 NPC之上 神仙 / 大佬 🧙 代码一遍过，还能讲得头头是道 我 幕后黑手👺 “这题我做过，但我选择忘记”
2. 悬赏计算公式（娱乐向） 你的实力 ≈ (AC 数 × 0.1) + (刷题总数 × 0.01) - (WA 数 × 10) - (TLE 数 × 5) + (颜值 × 1000) // 这项我编的 🎯 本人得分：负无穷，但气质加成拉满！
3. 我最常说的话 TOP 5 “这题不是有手就行？” → 然后没手了 “我写完就去睡了” → 然后写到天亮 “这数据范围，暴力能过吧？” → TLE 预警 “我看过题解了，很简单” → 然后看不懂 “别急，我马上提交” → 已经 WA 三次了 🛠️ 技术栈 & 工具（假装很专业） 语言：C++（偶尔 Python 摆烂）、Java（看心情） 编辑器：VS Code / Dev C++ / 记事本（极限操作） 刷题平台：洛谷、Codeforces、牛客、本 OJ 其他工具：Git（偶尔用）、Excel（统计WA次数）、计算器（算复杂度） 神秘技能：“肉眼查 Bug”（其实靠玄学） 📅 最近动态（整活向） 2024-06-01：提交了一道题，AC 了，奖励自己一根辣条 ✅ 2024-06-02：WA 了 10 次，怀疑人生 ❌ 2024-06-03：看别人题解，觉得自己是个废物 🥲 2024-06-04：计划 AK 本场，实际签到题都写挂 😅 2024-06-05：准备发奋图强，然后去打了游戏 🎮 📌 结语：欢迎交流，拒绝内卷 喜欢我的主页？ 欢迎点赞、留言、转发（或者直接抄我的段子） 想 PK 一下？ 来，solo！不过我可能跑路 想学算法？ 建议先从“Hello World”开始，别学我 想整活？ 欢迎在本页下方留言，我们一起编段子 “代码可以写崩，但心态不能崩；算法可以不会，但段子必须会！” ——龚子搴（Gong Ziqian），一个“复杂度超标”的整活型选手 ✅ 本主页最终解释权归龚子搴所有，一切内容仅供娱乐，如有雷同，纯属巧合。

咳咳…言归正传！！

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各种奇奇怪怪的东西

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    return 0;
}
素数判断
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Prime(int x)//函数名自定义,x是要判断的数
{
    if(x<2) return 0;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

初始代码框架

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    return 0;
}

素数判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Prime(int x)//函数名自定义,x是要判断的数
{
    if(x<2) return 0;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

回文数判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Palindromic(int x)//函数名自定义,x是要判断的数
{
    int t=0,l=x;
    while(x>0)
    {
        t=t*10+x%10;
        x/=10;
    }
    if(t==l)return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

完全数判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Perfect(int x)//函数名自定义,x是要判断的数
{
    int res=0;
    for(int i=1;i<x;i++) if(x%i==0) res+=i;
    if(res==x) return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

2的幂判断

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Power_to_Two(int x)//函数名自定义,x是要判断的数
{
    if(x<=0||(x&x-1)) return 0;
    else return 1;   
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

判断哈沙德数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_Harshad_Number(int x){//函数名自定义,x是要判断的数
    int sum=0,n=x;
    while(n){
        sum+=n%10;
        n/=10;
    }
    if(x%sum==0) return 1;
    else return 0;
}
int main(){
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

分解素因数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void Factorize_into_Prime_Factors(int x)//函数名自定义,x就是要分解的数
{
    int tmp=x;
    printf("%d=",i);
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        while(tmp%i=0)
        {
            tmp/=i;
            if(tmp==1) printf("%d",i);
            else printf("%d*",i);
        }
        if(tmp>1) printf("%d",tmp);
        printf("/n");
    }
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

十进制转其他进制(把n改成要转换的进制,0就不转换了)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char Numeral_System[100];
void Convert_Decimal_to_other_Base_Systems(int x)//函数名自定义,x就是要转换的数
{
    int i=0;
    memset(Numeral_System,0,sizeof(Numeral_System));
    if(x!=0)
    {
        while(x)
	{
            if(x%n<10) Numeral_System[i++]=x%n+'0';
            else Numeral_System[i++] = x%n-10+'A';
            x/=n;
        }
    }
    else Numeral_System[0]=0;
}
int main()
{
    //中间的东西根据题目来写,重点在上面的函数
    return 0;
}

输入输出

#include <iostream>
using namespace std;
//cout
//cin
//+ - * / 
//......

容器，数组等

#include <vector><map><array>
using namespace std;
//int a[10000];
//......

数学

#include <cmath>
using namespace std;
//sqrt(2)=1.414213562373095...
//......

算法库

#include <algorithm>
using namespace std;

会更新

c++常用函数

1、 2，8，11~16进制打印

int jinzhi(int a)
{
    //2进制
    int s[1000];
    int i=1;
    while(a){
        s[i++]=a%2;
        a/=2;
    }
    for(int j=i-1;j>=1;j--){
        cout<<s[j];
    }



    //8进制
    printf("%o\n", a);



    //11~15进制
    long long i=0;
    if(a==0){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    while(a){
        if(n%11<10) a[i++]=n%11+'0';
        else a[i++]=n%11-10+'A';
        n/=11;
    }
    for(int j=i-1;j>=0;j--) cout<<a[j];



    //16进制
    printf("%X\n",a);
}

快去刷题！！>>

2.pow()函数

pow(2,2)=4
pow(3,3)=27
pow(4,2)=16
pow(5,3)=125

3.字符数组常用函数

函数 语法 功能 strlen strlen() char 字符数 strcat strcat(a,b) 把b拼接在a后面 strcmp strcmp(a,b) 比较a与b的大小 ascall码 strcpy strcpy(a,b) 把string复制到char数组中去 transform transform(A.begin(),A.end(),A.begin(),::toupper); string 变量大写转小写 isdigit isdigit() 返回是否是字符数字 find 函数名.find(“hello”,0) 从0开始找hello size() 函数名.size() string变量求长度 substr 函数名.substr(3,6) 从下标3开始取到下标6 replace 函数名.replace(3,6,“Andy”) 从下标3开始到下标6换成“Andy” insert 函数名.insert(起始坐标,“hello”) 从起始坐标为函数名插入hello insert (2) 函数名.insert(起始坐标,10000,‘a’) 从起始坐标为函数名插入一万个a reverse reverse(a.begin(),a.end()) 把a反转过来（回文数秒杀） stoi \ stoll stoi(“123”) \ stoll("") 把字符串123转成int \ long long（0会去掉！！） 初始化100个a，string str1(100,a)

引用

int &a;
不对^

int a=3;
int &b=a;
把a与b绑定，改a即改b，改b即改a。

double a=3.14;
int &b=a;
不对^
应类型相同。

string的简便用法

初始化与读入

getline(cin,x,‘n’)：将x字符串按行读入,n可写可不写,写后则读入到n这个字符，n是一个字符 string x(m,‘N’)：将x字符串初始化为m个N，m是一个常数，N是一个字符 string x(“hello,world!”),n(x,m,n)：将n字符串初始化为x字符串下标从m开始，长度为n的子字符串，m与n都是常数 x.reserve(m或n.size())：将x字符串预留n字符串的长度个空间或m个空间，m是一个常数

判断与转换

transform(x.begin(),x.end(),x.begin(),::toupper)：将x字符串全部转大写 transform(x.begin(),x.end(),x.begin(),::tolower)：将x字符串全部转小写 toupper(x[i])：将x[i]转为大写，不是字母自动不转换 tolower(x[i])：将x[i]转为小写，不是字母自动不转换 isalpha(x[i])：判断x[i]是否是字母(大写或小写都算) isdigit(x[i])：判断x[i]是否是数字 isupper(x[i])：判断x[i]是否为大写 islower(x[i])：判断x[i]是否为小写 x=to_string(n)：将n转换为x字符串，n是short、int、unsigned int、long long、unsigned long long、float、double类型 reverse(x.begin(),x.end())：将x字符串翻转 x.insert(n,m,“k”)：在x字符串的n下标前插入m个k字符串或k字符，m可写可不写，不写默认为1，不写则k可为字符也可为字符串，写后k只能是一个字符，n与m都是常数 x.erase(n,m)：将x字符串从n下标开始删除长度为m的子字符串，m可写可不写，不写则默认为到结尾，n与m都是常数 x.c_str()：将x字符串转换成一个char数组

查找与提取

x.size()：取x字符串的长度 x.substr(n,m)：在x字符串内从下标n开始截取长度为m的子字符串，m可写可不写，不写默认为到结尾，n与m都是常数 x.replace(n,m,‘k’)：将x字符串中从n下标开始，将长度为m的子字符串替换成子字符串k，n与m都是常数 x.find(n或"m",k)：查找n或m子字符串是否在x字符串内,k可写可不写，不写默认为0，写后从k下标后开始查找，n与m是一个字符串，k是一个常数标记

4.常见方法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {

    string s;
    getline(cin,s);
    string word;
    string maxs,mins;
    int maxn = 0,minn = 100;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        if(s[i]==' '||s[i]==',')
        {
            //word这个单词结束了.
            if(word.size()>maxn)
            {
                maxs = word;
                maxn = word.size();
            }
            if(word.size()<minn)
            {
                mins = word;
                minn = word.size();
            }
            word = "";
        }
        else
        {
            word+=s[i];
        }
    }
    cout<<maxs<<endl<<mins;
	return 0;
}

看不到点这里>>>

加密的通用解法 看不到点这里>>>

lowbit函数：求x的最低数

int low_bit(int x)
{
    returnb x&-x;
}

看不到点这里>>>

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    string s;
    cin >> s;

    int epos = s.find('e');
    string base = s.substr(0, epos);      // a.d
    string expstr = s.substr(epos + 1);   // b

    long long b = stoll(expstr);
	//把小数点往右挪b位，小数点一开始在下标1
    //移动b位后，他应该在下标1+b
    int p = 1+b;
    //先把a和d拼成纯字符串
    base.erase(1,1);
    if(p>=base.size())
    {
        base+=string(p-base.size(),'0');
        cout<<base;
    }
    else
    {
        base.insert(p,".");
        //去除末尾0
        int k = base.size()-1;
        while(base[k]=='0')
        {
            base.erase(k,1);
            k--;
        }
        cout<<base;
    }
    
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char g[100][100];
int d[][2] = {{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1},{-1,-1},{-1,1},{1,-1},{1,1}};
int dl[100][100];
int main() {
    int n,m; cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>g[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<8;k++)
            {
                int x = i+d[k][0];
                int y = j+d[k][1];
                //(x，y）就是(i,j)上下左右左上左下右上右下的某个位置
                if(x>n||x<1||y>m||y<1) continue;
                if(g[x][y]=='*')
                {
                    //（i,j）这个位置地雷数+1
                    dl[i][j]++;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(g[i][j]=='*') cout<<'*';
            else cout<<dl[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
 	return 0;
}

5.机车车型

Metro Family(Shanghai and Hangzhou and Hongkong) 2025.12.19.18:22

车型[Car model] [100%准确] 杭州 4B(鼓) 6B 6B(鼓) 6AH 6A 6A(鼓) 上海 3A 6A 8A 4C 6C 7C 4D 8D

Shanghai Metro Nickname[100%准确]

1.老八 老老八 伪八 伪二八 胖头鱼 钢铁侠一世 钢铁侠二世 2.西瓜 鲇鱼 青鱼 小青鲶鱼（扩编前）扩编鲶鱼（扩编后）大青鲶鱼（扩编后) 绿灯侠 3.黄鱼 包公 黑包公 4.奶嘴 叛逆包公 黑包公 5.番茄炒蛋 紫罗兰一世 紫罗兰二世 紫罗兰三世 6. Hello Kitty 花木兰一世 花木兰二世 花木兰三世 7. 芬达 邦迪一世 邦迪二世 8. 蓝精灵 泥鳅一世 泥鳅二世 泥鳅三世 9. 坂田 蚕宝宝 创可贴一世 创可贴二世 电器boy[不知去何处][0952] 10. 热带鱼一世 热带鱼二世 11. 奶咖一世 奶咖二世 伪咖 12. 雪碧一世 雪碧二世 雪碧三世 13. 坂田(临时) 奶粉一世 奶粉二世 奶粉三世[即将上线] 14. 高达一世 高达二世[即将上线] 15. 长鼻猴一世 16. 抹茶一世 抹茶二世 17. 西柚一世 西柚二世 18. 闪电侠一世 闪电侠二世 APM浦江线. 小灰灰

All train numbers of Hangzhou Metro(含备用车[Including a spare car])[100%准确]

1.01001–01102 2.02001–02078 3.03001–03075 4.04001–04068 5.05001–05088 6.06001–06048 7.07001–07042 8.08001–08011 9.09001–09038 10.10001–10032 16.16001–16022 19.19001–19058

Hangzhou Metro Special Train[100%准确]

永磁列车[Maglev train]. 05062–05065 长期弓网检测车[Long-Term Bow Net Detection Vehicle].03072–03075;19006–19007

All train numbers of Shanghai Metro(含备用车[Including a spare car])[部分数据不准确 比较接近]

1.01001–01115 2.02001–02120 3.03001–03055 4.04001–04055 5.05001–05078 6.06001–06082 7.07001–07079 8.08001–08090 9.09001–09106 10.10001–10068 11.11001–11108 12.12001–12052 13.13001–13058 14.14001–14048 12.15001–15054 16.16001–16036 17.17001–17032 18.18001–18050

Hongkong MTR Name[繁体字]

觀塘綫 KTL Kwun Tong Line 觀塘綫延綫 KTE[1] Kwun Tong Line Extension 荃灣綫 TWL Tsuen Wan Line 港島綫 ISL Island Line 西港島綫 WIL West Island Line 將軍澳綫 TKL Tseung Kwan O Line 東涌綫 TCL Tung Chung Line 迪士尼綫 DRL Disneyland Resort Line 東鐵綫 EAL East Rail Line 屯馬綫 TML Tuen Ma Line 機場快綫 AEL Airport Express Line 南港島綫 SIL South Island Line 輕鐵 LRT Light Rail Transit 昂坪360 NP360 Ngong Ping 360 九龍南綫 KSL Kowloon Southern Link 東鐵（東鐵綫及馬鞍山綫） ERL East Rail Lines 沙田至中環綫 SCL Shatin to Central Link 市區綫（觀塘綫、荃灣綫、港島綫及將軍澳綫） URL Urban Lines 機場鐵路（機場快綫及東涌綫） LAR Lantau Airport Railway 廣深港高速鐵路 XRL Guangzhou-Shenzhen-Hong Kong Express Rail Link

China Railway 2025.12.24.18:11

High-speed inspection vehicle CRH2A-2010 [白医生] CRH2C-2061 [白医生] CRH2C-2068 [白医生] CRH5J-0501 [黄医生] CRH2C-2150 CRH380AJ-0201 CRH380BJ-0301 CRH380AM-0204 [CIT500] CRH380AJ-0203 CRH2J-0205 CRH380BJ-A-0504 CRH380AJ-2808 CRH380AJ-2818 CR400BF-J-0001 CR400AF-J-0002[大芒果] CR400BF-J-0003[百香果]

Rare train (CR and CRH)

CRH380AL-2541 冲高鼠 CRH380BL-5522 MTR380A 花老鼠[MTR管辖] CRH380AN 永磁鼠 CRH380AM 青铜剑 【共和国最锋利的剑】 CR400BF-C-5162 瑞雪迎春 CR400BF-Z-0524 江南大茄子 CR400AF（样车） 蓝海豚 CR450AF-0201 CR450BF-0501

和谐号 CRH

CRH1A 大地铁 CRH1A初期多用于短途城际，原型车本身就是类似地铁的城际运输定位 耳膜快乐车 早期的CRH1系列由于不锈钢车身气密性极差，过隧道时强大的气压差导致巨大耳膜疼痛 CRH1B 长地铁 在CRH1A大地铁基础上加长，故名长地铁 CRH1E 蝗虫 外形 CRH2A 带鱼 外形 CRH2B 长带鱼 CRH2A长编组版 CRH2C 疯带鱼 CRH2C是在CRH2A的200km/h的基础上进行改进，并把动车数量增至6节（6M2T），运营速度310km/h。 CRH2E 睡带鱼 2B基础上的卧铺版 CRH2G 先进黑脸(黑骏马) CRH2J 黄带鱼 色带颜色 CRH2G 冻带鱼 本型号为高寒动车组 CRH3A 黄金眼 列车两端的驾驶室的观察窗有金色点缀。 CRH3C 漏风兔 车灯旁边有一条通风口，其他与兔子一致。 CRH380A 老鼠 外形原因 MTR380A 花老鼠 CRH380AL 长老鼠 外形原因，此车型在CRH380A老鼠基础上增加了长度 CRH380AL-2541 冲高鼠 2010年12月3日11点28分，和谐号动车组CRH380A-6041L（现CRH380AL-2541）在京沪高铁先导段，以486.1km/h的时速高速通过宿州东站，创下世界轮轨铁路运营试验最高速记录 CRH380AN 永磁鼠 CRH380AM 青铜剑 因为有一端车头采用了尖楔形设计，形似剑锋 CRH380B 兔子 外形原因 CRH380BL 长兔子 CRH380BL-5522 烤兔子 因其在2018年1月25日担当G281次列车在行驶过程中起火而得名 CRH380BG 肥兔子 外形原因、高寒型车组略宽 CRH380CL 鲨鱼 外形原因 CRH380D 疯地铁 由CRH1型改进而来，能跑到300Km/h以上的运营时速 CRH5 驴 外形 CRH6 海豚、小地铁 CRH6系列的定位为城际动车组列车，并且多半的CRH6F以及CRH6F-A都有两扇门。

复兴号 CR

CR450AF CR450BF CR400AF-(B)Z/C/AE:瑞龙智行 CR400BF-(A/B/G)Z:龙凤呈祥 CR400BF-C-5162:瑞雪迎春 CR400BF-Z-0524:江南大茄子 CR400AF 红神龙 红色腰线设计 CR400AF-B:长神龙 CR400AF（样车） 蓝海豚 CR400BF 金凤凰 CR400BF-5033 烤凤凰 CR300AF 蓝妹妹 外观颜色 CR300BF 蓝暖男 CR220J（FXD3D） 薄荷桶 初音桶蔚蓝桶 CR200J（1代、2代） 绿巨人 垃圾桶 菜青虫立及甬 CR200J（3代） AD钙奶 AD钙桶

常见客机型号（100%正确）

空客(Airbus)

A300 A310 A318 A319 A320 A321 A330 A340 A350 A380(双层)

波音(Boeing)

B707 B717 B727 B737 B747(双层) B757 B767 B777 B787

商飞(Comac)

C909 C919

上海地铁昵称（1-18&浦江线与市域机场线）（100%正确）

1 号线：01A01老老六(已退役)，不死老老八(01002)(已退役)，01A01老老八(已退役)、01A02伪八二世、01A03不死老八(01017)、01A03老八、01A04伪八、09A01红蚕宝宝（现已转至9号线）、01A05胖头鱼、01A06钢铁侠、01A07钢铁侠二世 2 号线：02A01西瓜、04A01绿奶嘴(现已转至4号线)、02A02青鱼、02A03大青鲶鱼、02A04扩编鲶鱼、02A05绿灯侠 3 号线：03A01黄鱼、03A02包公、04A02叛徒包工 4 号线：04A01奶嘴、04A02黑包公、04A02叛徒包工 5 号线：05C01番茄炒蛋、05C02紫罗兰 6 号线：06C01HelloKitty、06C02纸花木兰、06C03电花木兰(花木兰二世)、06C04花木兰三世 7 号线：07A01芬达、07A02邦迪、07A03邦迪二世 8 号线：08C01蓝精灵、08C02泥鳅一世、08C03泥鳅二世、08C04泥鳅三世 9 号线：09A01蚕宝宝、09A02冰露(坂田)、09A03创可贴、09A04创可贴二世、09ASH(Y)电气男孩(09052)（现已下线） 10 号线：10A01热带鱼、10A02热带鱼二世 11 号线：11A01奶咖、11A02伪咖(昆山垃圾车)、11A03奶咖二世(新咖) 12 号线：12A01雪碧、12A02雪碧二世、12A03雪碧三世 13 号线：09A02世博坂田(曾在世博会时期借给世博专线（现13号线）)、13A01奶粉、13A02奶粉二世、13A03奶粉三世 14 号线：14A01高达、14A02高达二世 15 号线：15A01长鼻猴 16 号线：16A01抹茶、16A02抹茶二世 17 号线：17A01西柚、17A02西柚二世(伪柚) 18 号线：18A01闪电侠、18A02闪电侠二世 浦江线：小灰灰 市域机场线：CCD2031(JC4,JC8)蓝鹦鹉

高铁型号(100%正确)

高铁型号>>> ©慧伊创新

动检(超稀有)

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StemStar NewOJ GESP[Study] 2025.12.6.12:00

6.题目

1.[GESP202303 二级] 百鸡问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int x, y, z, n, m;
cin >> x >> y >> z >> n >> m;
int count = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
    for (int j = 0; j <= m - i; j++) { 
        int k = m - i - j; 
        if (k < 0) continue;
        if (k % z != 0) continue; 
        if (i * x + j * y + k / z == n) {
            count++;
        }
    }
}
cout << count << endl;
return 0;
}

2.[GESP202312 二级] 小杨做题

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int a, b, m, N;
cin >> a >> b >> m >> N;

if (N == 1) {
    cout << a << endl;
    return 0;
}
long long total = a + b;
long long prev2 = a;
long long prev1 = b; 
if (N == 2) {
    cout << total << endl;
    return 0;
}
for (int day = 3; day <= N; day++) {
    if (prev1 >= m) {
        break;
    }
    
    long long today = prev1 + prev2;
    total += today;
    prev2 = prev1;
    prev1 = today;
}

cout << total << endl;

return 0;
}

3.[GESP202406 二级] 平方之和

#include <bits/stdc++.h>
#include <cmath>
using namespace std;
bool isSquareSum(int n) {
    int limit = sqrt(n);
for (int x = 1; x <= limit; x++) {
    int rest = n - x * x;
    if (rest <= 0) break;
    int y = sqrt(rest);
    if (y * y == rest && y >= 1) {
        return true;
    }
}
return false;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        if (isSquareSum(a)) {
            cout << "Yes\n";
        } else {
            cout << "No\n";
        }
    }
    return 0;
}

4.[GESP202312 一级]小杨的考试

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int X, N;
cin >> X >> N;
int day = (X - 1 + N) % 7 + 1;
cout << day << endl;
return 0;
}

5.[GESP202306 三级] 密码合规检测

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool hg(string s)
{
if(s.size()<6||s.size()>12) return 0;
int xx = 0,dx = 0,sz = 0,ts = 0;
bool sxx = 0,dxx = 0,szz = 0,tss = 0;
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
    if(s[i]>='A'&&s[i]<='Z') {dx++; dxx=1;}
    else if(s[i]>='a'&&s[i]<='z'){ xx++; sxx=1;}
    else if(s[i]>='0'&&s[i]<='9') {sz++; szz=1;}
    else if(s[i]=='!'||s[i]=='@'||s[i]=='#'||s[i]=='$') {ts++; tss=1;}
    else return 0;
}  
if(dxx+sxx+szz>=2&&tss) return 1;
else return 0;
}
int main() {
string s;
getline(cin,s);
s+=',';
string pwd = "";
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
    if(s[i]==',')
    {
        if(hg(pwd))
        {
            cout<<pwd<<endl;
        }
        pwd = "";
    }
    else
    {
        pwd+=s[i];
    }
}
return 0;
}

StemStar NewOJ 进制转换 2025.12.10.18:40

1. 2进制转10进制

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
string s;
cin >> s;

int ans = 0;
for (char c : s) {
    ans = ans * 2 + (c - '0');
}

cout << ans << endl;
return 0;
}

2.10进制转8进制

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n,bits[15],len=0;
cin>>n;
if(n==0){cout<<0;return 0;}
while(n){bits[len++]=n%8;n/=8;}
while(len--)cout<<bits[len];
return 0;
}

3.10进制转16进制

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
int n,hex[15],len=0;
cin>>n;
if(n==0){cout<<0;return 0;}
while(n){
    int d=n%16;
    hex[len++]=d;
    n/=16;
}
while(len--){
    int d=hex[len];
    if(d<10)cout<<d;
    else cout<<char('A'+d-10);
}
return 0;
}

4.2进制转8进制

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    string s;
    cin >> s;
    while (s.length() % 3 != 0) {
        s = "0" + s;
    }
    string result;
	for (int i = 0; i < s.length(); i += 3) {
    	int num = (s[i]-'0')*4 + (s[i+1]-'0')*2 + (s[i+2]-'0');
    	result += to_string(num);
	}
	cout << result;
	return 0;
}

StemStar NewOJ 常用代码 2025.12.3.18:30

1.关于万能头文件

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	
	return 0;
}

2.关于数学函数（#include < cmath >）

max(x,y)   x与y的较大值
min(x,y)   x与y的较小值
abs(x)     x的绝对值
fabs(x)    浮点数x的绝对值
ceil(x)    x向上取整的值
floor(x)   x向下取整的值
sqrt(x)	   x的平方根

3.1-1-10 :回文数的判断

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
int count = 0;
while(true) {
    int t = n;
    int r = 0;
    while(t > 0) {
        r = r * 10 + t % 10;
        t = t / 10;
    }
    if(n == r) {
        break;
    }
    n = n + r;
    count++;
}
cout <<count<<endl;
return 0;
}

4.1-2-3 :素数判断

bool P(int n)//素数判断
{
if(n<=1)return 0;
for(int i=2;i<=n/i;i++)
{
    if(n%i==0)return 0;
}
return 1;
}

5.完全数判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool W(int x)  
{
int res=0;
for(int i=1;i<x;i++) if(x%i==0) res+=i;
if(res==x) return 1;
else return 0;
}
int main()
{
 return 0;
}

6.小X与三角形

#include <bits/stdc++.h>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
int a, b;
cin >> a >> b;

int lower = abs(a - b) + 1;
int upper = a + b - 1;

if (lower > upper) {
    cout << 0 << endl;
} else {
    cout << upper - lower + 1 << endl;
}

return 0;
}

7.1-1-10 :完全平方数

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	int n;
	cin >> n;

bool isPerfectSquare = false;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
    if (i * i == n) {
        isPerfectSquare = true;
        break;
    }
}

if (isPerfectSquare) {
    cout << "Yes" << endl;
} else {
    cout << "No" << endl;
}

return 0;
}

8.完全数

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	cin >> n;

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) {
    if (n % i == 0) {
        sum += i;
        if (i != 1 && i != n / i) {  
            sum += n / i;
        }
    }
}
sum = 0;
for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
    if (n % i == 0) {
        sum += i;
    }
}

if (sum == n) {
    cout << "Yes" << endl;
} else {
    cout << "No" << endl;
}

return 0;
}

9.1-1-10 :丑数

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	cin >> n;

if (n <= 1) {
    cout << "No" << endl;
    return 0;
}
while (n % 2 == 0) {
    n /= 2;
}
while (n % 3 == 0) {
    n /= 3;
}
while (n % 5 == 0) {
    n /= 5;
}

if (n == 1) {
    cout << "Yes" << endl;
} else {
    cout << "No" << endl;
}

return 0;
}

10.求一元二次方程

#include <bits/stdc++.h>
#include<cmath>
int main(){
    double a,b,c,d,x1,x2;
    scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
    d=b*b-4*a*c;
    if(d<0) printf("No answer!");
else if(d==0) printf("x1=x2=%.5f",-b/(2*a));
else{
    x1=(-b-sqrt(d))/(2*a);
    x2=(-b+sqrt(d))/(2*a);
    if(x1>x2){double t=x1;x1=x2;x2=t;}
    printf("x1=%.5f;x2=%.5f",x1,x2);
}
return 0;
}

11.绝对值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
float n;
cin>>n;
printf("%.2f",fabs(n));
return 0;
}

12.1-2-1沙漏

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
for (int i=n/2+1;i>=1;i--){
    for (int j=1;j<=n/2+1-i;j++){
        cout<<" ";
    }
    for (int j=1;j<=2*i-1;j++){
        cout<<"*";
    }
    cout<<endl;
}
for (int i=1;i<=n/2;i++){
    for(int j=1;j<=n/2-i;j++){
        cout<<" ";
    }
    for (int j=1;j<=2*i+1;j++){
        cout<<"*";
    }
    cout<<endl;
}
return 0;
}

13.九九乘法表

#include <bits/stdc++.h>
int main() {
    const int SIZE = 9;

for (int i = 1; i <= SIZE; ++i) {
    for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        std::cout << j << "*" << i << "=" << i * j << " ";
    }
    std::cout << std::endl;
}

return 0;
}

14.1-3-4 :2025

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int x;
cin >> x;
if (x < 2025) {
    cout << 2025 - x;
} else {
    cout << -1;
}
return 0;
}

15.1-3-4 :计算2的幂

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << (1LL << n) << endl;  
return 0;
}

16.1-3-5 :车牌问题

#include <iostream>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
int main() {
int N;
cin >> N;
set<char> urban_prefix = {'A','B','C','D','E','F','G','R','S','T'};
int count = 0;

for (int i = 0; i < N; i++) {
    string plate;
    cin >> plate;
    char first_char = plate[0];
    if (urban_prefix.find(first_char) == urban_prefix.end()) {
        count++;
    }
}
cout << count << endl;
return 0;
}

17.1-3-5 :雷同检测

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
string s1, s2;
getline(cin, s1);
getline(cin, s2);

int len = min(s1.length(), s2.length());
bool first = true;

for (int i = 0; i < len; i++) {
    if (s1[i] == s2[i]) {
        if (!first) {
            cout << " ";
        }
        cout << i + 1;
        first = false;
    }
}
cout << endl;

return 0;
}

18. T1089 数字反转

#include <bits/stdc++.h>
#include <cmath>
using namespace std;	
int main() {
int n;
cin >> n;
if (n == 0) {
    cout << 0 << endl;
    return 0;
}
bool isNegative = (n < 0);
if (isNegative) {
    n = -n; 
}
int reversed = 0;
while (n > 0) {
    reversed = reversed * 10 + n % 10;
    n /= 10; 
}
if (isNegative) {
    reversed = -reversed;
}
cout << reversed << endl;
return 0;
}

19. 1-3-4 高低位交换

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
unsigned int low = n & 0xFFFF;      
unsigned int high = n >> 16;      
unsigned int result = (low << 16) | high;

cout<<result;
return 0;
}

7.常用函数

素数判断

bool P(int n)//素数判断
{
    if(n<=1)return 0;
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
    {
        if(n%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}

回文数判断

bool H(int n)//回文数判断
{
    int t=0,l=n;
    while(n>0)
    {
        t=t*10+n%10;
        n/=10;
    }
    if(t==l)return 1;
    else return 0;
}

判断是否为2的幂

bool R(int n)//判断是否为2的幂
{
    if(n<=0||(n&n-1))return 0;
    else return 1;
}

打印二进制

void PB(int n)//打印二进制
{
    for (int i=31;i>=0;i--)
    {
        if(n&(1<<i))cout<< "1";
        else cout<<"0";
    }
    cout<<endl;
}

全转大/小写

transform(A.begin(),A.end(),A.begin(),::tolower);//小
transform(A.begin(),A.end(),A.begin(),::toupper);//大

三角形面积

double sot(int a,int b,int c)//给三条边长度，求三角形面积
{
    double p=(a+b+c)/2.0;
    return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
}

看不到点这里>>>

8.数学公式

好的，这是一份包含500条重要数学公式的速查表，按主题分类，方便您查阅和复制。

---

🔢 一、算术与代数基础 (1–80)

1. 加法交换律：$a+b=b+a$
2. 加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
3. 乘法交换律：$ab=ba$
4. 乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
5. 乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$
6. 零乘性质：$a\cdot 0=0$
7. 零除性质：$0/a=0\ (a\neq 0)$
8. 乘法对加法的分配律（右）：$(a+b)c=ac+bc$
9. 减法定义：$a-b=a+(-b)$
10. 除法定义：$a/b=a\cdot b^{-1}\ (b\neq 0)$
11. 带余除法：$a=bq+r,\ 0\le r<|b|$
12. 整除关系：$b\mid a\iff \exists q\in\mathbb Z,a=bq$
13. 最大公约数：$\gcd(a,b)=\max\{d\in\mathbb N\mid d\mid a,d\mid b\}$
14. 最小公倍数：$\mathrm{lcm}(a,b)=\min\{m\in\mathbb N\mid a\mid m,b\mid m\}$
15. $\gcd(a,b)\cdot\mathrm{lcm}(a,b)=|ab|$
16. 带余除法商与余数：$q=\lfloor a/b\rfloor,\ r=a-b\lfloor a/b\rfloor$
17. 整数奇偶性：$a\equiv 0\pmod 2$ 为偶数，$a\equiv 1\pmod 2$ 为奇数
18. 奇偶性加法：奇+奇=偶，偶+偶=偶，奇+偶=奇
19. 奇偶性乘法：奇×奇=奇，偶×任意=偶
20. 绝对值定义：$|x|=x$ if $x\ge 0$, $|x|=-x$ if $x<0$
21. 绝对值不等式：$|x|\ge 0,\ |x|=|-x|,\ |xy|=|x||y|$
22. 三角不等式：$|x+y|\le |x|+|y|$
23. 绝对值差不等式：$||x|-|y||\le |x-y|$
24. 分数加法（同分母）：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
25. 分数减法（同分母）：$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$
26. 分数乘法：$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
27. 分数除法：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$
28. 分数与整数乘法：$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{an}{b}$
29. 分数与整数除法：$\frac{a}{b}\div n=\frac{a}{bn}$
30. 带分数转假分数：$a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$
31. 假分数转带分数：$\frac{a}{b}=q\frac{r}{b},\ a=bq+r,\ 0\le r<b$
32. 比例性质：若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则 $ad=bc$
33. 合比性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
34. 分比性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
35. 合分比性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
36. 比例中项：$a:b=b:c\Rightarrow b^2=ac$
37. 百分比：$p\%=\frac{p}{100}$
38. 小数转百分数：$x\mapsto 100x\%$
39. 百分数转小数：$p\%\mapsto \frac{p}{100}$
40. 百分数转分数：$p\%=\frac{p}{100}$
41. 分数转百分数：$\frac{a}{b}\mapsto \frac{100a}{b}\%$
42. 比的定义：$a:b=\frac{a}{b}$
43. 比的基本性质：$a:b=c:d\iff ad=bc$
44. 正比例：$y=kx\ (k\neq 0)$
45. 反比例：$xy=k\ (k\neq 0)$
46. 简单利息：$I=Prt$
47. 复利终值：$A=P(1+r)^t$
48. 等差数列通项：$a_n=a_1+(n-1)d$
49. 等差数列前 $n$ 项和：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
50. 等比数列通项：$a_n=a_1q^{n-1}$
51. 等比数列前 $n$ 项和（$q\neq 1$）：$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$
52. 等比数列无穷和（$q<1$）：$S=\frac{a_1}{1-q}$
53. 裂项相消1：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
54. 裂项相消2：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$
55. 平方公式1：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
56. 平方公式2：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
57. 立方公式1：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
58. 立方公式2：$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
59. 立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
60. 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
61. 完全四次方和：$a^4+b^4=(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)$
62. 平方差：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
63. 完全四次方差：$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$
64. 平方和：$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$
65. 立方和（推广）：$\sum_{k=0}^n a^k=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\ (a\neq 1)$
66. 等差数列求和（推广）：$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
67. 平方和公式：$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
68. 立方和公式：$\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
69. 四次方和公式：$\sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
70. 五次方和公式：$\sum_{k=1}^n k^5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$
71. 二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
72. 二项式系数对称性：$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
73. 二项式系数递推：$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$
74. 二项式系数求和：$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$
75. 二项式系数交错和：$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}=0\ (n\ge 1)$
76. 二项式系数单峰性：$\binom{n}{k}\le \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$
77. 二项式系数最大值：$\max_k \binom{n}{k}=\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$
78. 二项式系数单峰性证明：$\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k-1}}=\frac{n-k+1}{k}$
79. 二项式系数求和（上指标固定）：$\sum_{k=0}^m \binom{r+k}{k}=\binom{r+m+1}{m}$
80. 二项式系数求和（下指标固定）：$\sum_{k=0}^n \binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}$

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📐 二、平面几何 (81–140)

81. 两点间距离：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
82. 中点坐标：$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
83. 斜率公式：$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
84. 点斜式：$y-y_1=m(x-x_1)$
85. 斜截式：$y=mx+b$
86. 一般式：$Ax+By+C=0$
87. 点到直线距离：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
88. 两直线平行：$m_1=m_2$
89. 两直线垂直：$m_1m_2=-1$
90. 平行线间距离：$d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
91. 三角形内角和：$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
92. 三角形外角：$\angle ACD=\angle A+\angle B$
93. 三角形不等式：$a+b>c,\ |a-b|<c$
94. 勾股定理：$a^2+b^2=c^2$
95. 勾股定理逆定理：$a^2+b^2=c^2\Rightarrow$ 直角三角形
96. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
97. 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
98. 余弦定理（角A）：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
99. 余弦定理（角B）：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
100. 三角形面积（底高）：$S=\frac12 ah_a$
101. 三角形面积（海伦）：$p=\frac{a+b+c}{2},\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
102. 三角形面积（两边夹角）：$S=\frac12 ab\sin C$
103. 三角形面积（坐标）：$S=\frac12|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3|$
104. 平行四边形面积：$S=ah$
105. 矩形面积：$S=ab$
106. 菱形面积：$S=\frac12 d_1d_2$
107. 梯形面积：$S=\frac12(a+b)h$
108. 圆周长：$C=2\pi r$
109. 圆面积：$S=\pi r^2$
110. 扇形弧长：$l=\theta r\ (\theta$ 为弧度$)$
111. 扇形面积：$S=\frac12 \theta r^2\ (\theta$ 为弧度$)$
112. 弓形面积：$S=S_{\text{扇}}-S_{\triangle}$
113. 圆环面积：$S=\pi(R^2-r^2)$
114. 椭圆面积：$S=\pi ab$
115. 椭圆周长近似：$C\approx \pi\left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$
116. 长方体表面积：$S=2(ab+bc+ca)$
117. 长方体体积：$V=abc$
118. 正方体表面积：$S=6a^2$
119. 正方体体积：$V=a^3$
120. 圆柱侧面积：$S_{\text{侧}}=2\pi rh$
121. 圆柱表面积：$S=2\pi r(r+h)$
122. 圆柱体积：$V=\pi r^2h$
123. 圆锥侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl$
124. 圆锥表面积：$S=\pi r(r+l)$
125. 圆锥体积：$V=\frac13\pi r^2h$
126. 圆台侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi(r_1+r_2)l$
127. 圆台体积：$V=\frac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$
128. 球表面积：$S=4\pi R^2$
129. 球体积：$V=\frac43\pi R^3$
130. 棱柱体积：$V=Sh$
131. 棱锥体积：$V=\frac13Sh$
132. 棱台体积：$V=\frac13h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$
133. 正四面体体积：$V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
134. 正八面体体积：$V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$
135. 正十二面体体积：$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3$
136. 正二十面体体积：$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3$
137. 正多面体欧拉公式：$V-E+F=2$
138. 多边形内角和：$(n-2)\cdot 180^\circ$
139. 多边形外角和：$360^\circ$
140. 正多边形内角：$\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$

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📈 三、三角函数 (141–200)

141. 同角基本关系：$\sin^2x+\cos^2x=1$
142. 同角基本关系：$1+\tan^2x=\sec^2x$
143. 同角基本关系：$1+\cot^2x=\csc^2x$
144. 商数关系：$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
145. 商数关系：$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
146. 倒数关系：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$
147. 倒数关系：$\csc x=\frac{1}{\sin x}$
148. 诱导公式1：$\sin(\pi-x)=\sin x$
149. 诱导公式2：$\cos(\pi-x)=-\cos x$
150. 诱导公式3：$\tan(\pi-x)=-\tan x$
151. 诱导公式4：$\sin(\pi+x)=-\sin x$
152. 诱导公式5：$\cos(\pi+x)=-\cos x$
153. 诱导公式6：$\tan(\pi+x)=\tan x$
154. 诱导公式7：$\sin(-x)=-\sin x$
155. 诱导公式8：$\cos(-x)=\cos x$
156. 诱导公式9：$\tan(-x)=-\tan x$
157. 和角公式1：$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
158. 和角公式2：$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
159. 和角公式3：$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$
160. 差角公式1：$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
161. 差角公式2：$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
162. 差角公式3：$\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$
163. 二倍角公式1：$\sin 2x=2\sin x\cos x$
164. 二倍角公式2：$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$
165. 二倍角公式3：$\cos 2x=2\cos^2x-1$
166. 二倍角公式4：$\cos 2x=1-2\sin^2x$
167. 二倍角公式5：$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
168. 三倍角公式1：$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$
169. 三倍角公式2：$\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x$
170. 半角公式1：$\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
171. 半角公式2：$\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$
172. 半角公式3：$\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$
173. 半角公式4：$\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
174. 半角公式5：$\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$
175. 积化和差1：$\sin x\cos y=\frac12[\sin(x+y)+\sin(x-y)]$
176. 积化和差2：$\cos x\sin y=\frac12[\sin(x+y)-\sin(x-y)]$
177. 积化和差3：$\cos x\cos y=\frac12[\cos(x+y)+\cos(x-y)]$
178. 积化和差4：$\sin x\sin y=-\frac12[\cos(x+y)-\cos(x-y)]$
179. 和差化积1：$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
180. 和差化积2：$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
181. 和差化积3：$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
182. 和差化积4：$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
183. 辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$
184. 辅助角公式参数：$R=\sqrt{a^2+b^2},\ \tan\varphi=\frac{b}{a}$
185. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
186. 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
187. 正切定理：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}$
188. 三角形面积（正弦）：$S=\frac12 ab\sin

重要

以下是 常见、重要、经典的数学公式，按领域分类整理，每一个公式都可以直接复制使用（支持 LaTeX 格式，也可轻松转换为普通文本或代码）。这些公式涵盖了初等数学到高等数学中最核心、最常用的内容，适合学习、教学、科研和竞赛使用。

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🔢 一、基础算术与代数（1–20）

1. 加法交换律：$a + b = b + a$
2. 加法结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$
3. 乘法交换律：$a \times b = b \times a$ 或 $ab = ba$
4. 乘法结合律：$(ab)c = a(bc)$
5. 乘法分配律：$a(b + c) = ab + ac$
6. 完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
7. 完全平方公式（负）：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
8. 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
9. 完全立方公式（正）：$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
10. 完全立方公式（负）：$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
11. 立方和公式：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
12. 立方差公式：$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
13. 二次方程求根公式：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
14. 一元二次方程判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$
15. 韦达定理（根与系数关系）：若 $x_1, x_2$ 为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，则 $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
16. 指数运算：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
17. 指数运算：$(a^m)^n = a^{mn}$
18. 指数运算：$a^0 = 1 \ (a \neq 0)$
19. 指数运算：$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
20. 科学计数法：$N = a \times 10^n, \ 1 \le a < 10$

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📐 二、几何（21–40）

21. 圆的面积：$A = \pi r^2$
22. 圆的周长：$C = 2\pi r$
23. 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$ （直角三角形）
24. 三角形面积（底×高÷2）：$S = \dfrac{1}{2} bh$
25. 正方形面积：$A = a^2$
26. 正方形周长：$P = 4a$
27. 长方形面积：$A = ab$
28. 长方形周长：$P = 2(a + b)$
29. 平行四边形面积：$A = bh$
30. 梯形面积：$A = \dfrac{1}{2}(a + b)h$
31. 正多边形内角和：$(n - 2) \times 180^\circ$
32. 正多边形每个内角：$\dfrac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$
33. 球的表面积：$S = 4\pi R^2$
34. 球的体积：$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$
35. 圆柱表面积：$S = 2\pi r(r + h)$
36. 圆柱体积：$V = \pi r^2 h$
37. 圆锥体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
38. 长方体体积：$V = abc$
39. 正方体体积：$V = a^3$
40. 棱锥体积：$V = \dfrac{1}{3} S h$

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📈 三、函数与图像（41–60）

41. 一次函数（直线）：$y = kx + b$
42. 二次函数（抛物线）：$y = ax^2 + bx + c$
43. 反比例函数：$y = \dfrac{k}{x}$
44. 指数函数：$y = a^x \ (a > 0, a \neq 1)$
45. 对数函数：$y = \log_a x \ (a > 0, a \neq 1)$
46. 指数与对数互化：$a^y = x \Leftrightarrow y = \log_a x$
47. 自然对数：$\ln x = \log_e x$
48. 常用对数：$\log x = \log_{10} x$
49. 对数运算：$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
50. 对数运算：$\log_a \left( \dfrac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$
51. 对数运算：$\log_a (x^n) = n \log_a x$
52. 换底公式：$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
53. 幂函数：$y = x^n$
54. 反函数：若 $y = f(x)$，则反函数记为 $x = f^{-1}(y)$
55. 奇函数：$f(-x) = -f(x)$
56. 偶函数：$f(-x) = f(x)$
57. 函数平移：$y = f(x - h) + k$ 表示向右平移 $h$，向上平移 $k$
58. 函数伸缩：$y = a f(bx)$，$a$ 控制纵向，$b$ 控制横向
59. 阶乘：$n ! = n \times (n - 1) \times \cdots \times 1$
60. 排列数：$A_n^k = \dfrac{n !}{(n - k) !}$

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🧮 四、数列与级数（61–80）

61. 等差数列通项：$a_n = a_1 + (n - 1)d$
62. 等差数列前 $n$ 项和：$S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = n a_1 + \dfrac{n(n - 1)}{2} d$
63. 等比数列通项：$a_n = a_1 q^{n - 1}$
64. 等比数列前 $n$ 项和：$S_n = a_1 \dfrac{1 - q^n}{1 - q} \ (q \neq 1)$
65. 等比数列无限和：$S = \dfrac{a_1}{1 - q} \ (|q| < 1)$
66. 调和数列：$H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$
67. 平方数列和：$\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
68. 立方数列和：$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \dfrac{n(n + 1)}{2} \right)^2$
69. 自然数列和：$\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
70. 等差中项：$A = \dfrac{a + b}{2}$
71. 等比中项：$G = \sqrt{ab} \ (a, b > 0)$
72. 算术-几何平均不等式：$\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$
73. 数列极限：$\lim_{n \to \infty} a_n = L$
74. 等比级数和：$S = a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1 - r} \ (|r| < 1)$
75. 调和级数：$H_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ 发散
76. 平方倒数和：$\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$
77. 立方倒数和：$\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^3}$ （阿佩里常数，无简单封闭形式）
78. 斐波那契数列：$F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
79. 斐波那契通项公式（比奈公式）：$F_n = \dfrac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}, \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$
80. 递推关系：$a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \cdots$

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📊 五、微积分初步（81–100）

81. 导数定义：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$
82. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n - 1}$
83. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$
84. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
85. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} e^x = e^x$
86. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \ln x = \dfrac{1}{x}$
87. 导数乘法法则：$(uv)' = u'v + uv'$
88. 导数除法法则：$\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
89. 链式法则：$\dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$
90. 积分定义：$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
91. 不定积分：$\int f(x) dx = F(x) + C$，其中 $F'(x) = f(x)$
92. 基本积分：$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1)$
93. 基本积分：$\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
94. 基本积分：$\int e^x dx = e^x + C$
95. 基本积分：$\int \sin x dx = -\cos x + C$
96. 基本积分：$\int \cos x dx = \sin x + C$
97. 定积分几何意义：$\int_a^b f(x) dx$ 表示曲线下的面积
98. 微积分基本定理：$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$
99. 变上限积分：$F(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$
100. 积分中值定理：$\int_a^b f(x) dx = f(c)(b - a), \ c \in [a, b]$

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以下是 线性代数、高等数学、数论 三大数学分支中 常见、重要、经典的公式与定理，每一个都经过精选，可直接复制使用（支持 LaTeX 格式，也可轻松转为文本或代码），适合学习、科研、竞赛和工程应用。

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📘 一、线性代数（101–150）

🔹 1. 矩阵与向量基础

101. 矩阵加法：$A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$
102. 矩阵数乘：$kA = [k a_{ij}]$
103. 矩阵乘法（元素定义）：$(AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj}$
104. 单位矩阵：$I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{bmatrix}$，满足 $AI = IA = A$
105. 零矩阵：所有元素为 0，满足 $A + 0 = A$
106. 转置矩阵：$A^T$，其中 $(A^T)_{ij} = A_{ji}$
107. 对称矩阵：$A^T = A$
108. 反对称矩阵：$A^T = -A$
109. 行向量与列向量：$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix}$（行），$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$（列）
110. 向量的线性组合：$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k$

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🔹 2. 行列式

111. 二阶行列式：$\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$
112. 三阶行列式（萨里法则）：

$$\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

113. 行列式性质：$\det(A^T) = \det(A)$
114. 行列式性质：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
115. 行列式某行/列乘 k：$\det(kA) = k^n \det(A)$（n 为阶数）
116. 上（下）三角矩阵的行列式：对角元乘积
117. 行列式为 0 ⇔ 矩阵不可逆（奇异矩阵）

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🔹 3. 逆矩阵与秩

118. 逆矩阵定义：$AA^{-1} = A^{-1}A = I$
119. 逆矩阵公式（2×2）：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

120. 伴随矩阵法求逆：$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot \mathrm{adj}(A)$
121. 矩阵的秩：rank(A) = 线性无关的行/列向量的最大个数
122. 满秩矩阵：rank(A) = n（方阵可逆）
123. 初等行变换不改变矩阵的秩
124. 行阶梯形矩阵：用于求解线性方程组与求秩
125. 若 rank(A) < n，则齐次方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非零解

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🔹 4. 线性方程组

126. 线性方程组表示：$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
127. 齐次方程：$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，总有零解
128. 非齐次方程：$A\mathbf{x} = \mathbf{b} \ (\mathbf{b} \ne \mathbf{0})$，可能有唯一解、无解或无穷解
129. 解的判定：   - 若 rank(A) = rank([A|b]) = n，有唯一解   - 若 rank(A) = rank([A|b]) < n，有无穷多解   - 若 rank(A) < rank([A|b])，无解
130. 克莱姆法则（仅适用于方阵且行列式非零）：

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},\ \text{其中 } A_i \text{ 是将 } A \text{ 第 i 列替换为 } \mathbf{b}$$

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🔹 5. 特征值与特征向量

131. 特征值定义：$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，$\lambda$ 为特征值，$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 为特征向量
132. 特征方程：$\det(A - \lambda I) = 0$
133. 特征多项式：$p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$
134. 对角化条件：若 A 有 n 个线性无关特征向量，则 $A = PDP^{-1}$，D 为对角阵
135. 迹（Trace）：$\mathrm{tr}(A) = \sum_{i} A_{ii} = \sum \lambda_i$
136. 行列式与特征值：$\det(A) = \prod \lambda_i$
137. 相似矩阵：$A \sim B \iff \exists P, B = P^{-1}AP$，相似矩阵有相同特征值
138. 单位特征值对应特征向量方向不变
139. 特征空间：$E_\lambda = \{ \mathbf{v} \mid A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \}$
140. 几何重数 ≤ 代数重数

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📗 二、高等数学（151–250）

🔹 1. 极限与连续

151. 极限定义：$\lim_{x \to a} f(x) = L$
152. 夹逼定理：若 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 且 $\lim g(x) = \lim h(x) = L$，则 $\lim f(x) = L$
153. 极限四则运算：$\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$
154. 极限乘法：$\lim [f(x)g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$
155. 极限除法：$\lim \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)} \ (\lim g(x) \ne 0)$
156. 连续定义：$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
157. 初等函数在其定义域内连续
158. 间断点类型：可去、跳跃、无穷、振荡

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🔹 2. 导数与微分

159. 导数定义：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$
160. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$
161. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$
162. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
163. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} e^x = e^x$
164. 基本导数：$\dfrac{d}{dx} \ln x = \dfrac{1}{x}$
165. 乘法法则：$(uv)' = u'v + uv'$
166. 除法法则：$\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
167. 链式法则：$\dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
168. 高阶导数：$f''(x) = \dfrac{d^2 f}{dx^2}$
169. 微分：$dy = f'(x) dx$
170. 隐函数求导：对 $F(x,y) = 0$ 两边关于 x 求导

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🔹 3. 积分

171. 不定积分：$\int f(x) dx = F(x) + C$
172. 基本积分：$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \ne -1)$
173. 基本积分：$\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
174. 基本积分：$\int e^x dx = e^x + C$
175. 基本积分：$\int \sin x dx = -\cos x + C$
176. 基本积分：$\int \cos x dx = \sin x + C$
177. 定积分：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
178. 积分中值定理：$\int_a^b f(x) dx = f(c)(b - a)$
179. 换元积分法（变量替换）：$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
180. 分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$

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🔹 4. 微分方程

181. 可分离变量方程：$\dfrac{dy}{dx} = g(x)h(y) \Rightarrow \int \dfrac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx$
182. 一阶线性微分方程：$y' + P(x)y = Q(x)$，解为积分因子法
183. 齐次方程：$y' = f\left( \dfrac{y}{x} \right)$，令 $v = y/x$
184. 二阶常系数齐次：$y'' + ay' + by = 0$，解为特征方程 $r^2 + ar + b = 0$
185. 二阶常系数非齐次：特解 + 齐次通解

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🔹 5. 级数

186. 数项级数：$\sum_{n=1}^\infty a_n$
187. 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \dfrac{a}{1 - r}, \ |r| < 1$
188. p-级数：$\sum \dfrac{1}{n^p}$，收敛当且仅当 $p > 1$
189. 调和级数：$\sum \dfrac{1}{n}$ 发散
190. 泰勒展开：$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(a)}{n !} (x - a)^n$
191. 麦克劳林级数（泰勒 a=0）：如 $e^x = \sum \dfrac{x^n}{n !}$
192. 常用麦克劳林展开：$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
193. 常用麦克劳林展开：$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
194. 幂级数收敛半径：$R = \dfrac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}}$

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📙 三、数论（251–300）

🔹 1. 整除与公约数

251. 整除：$a \mid b \iff \exists k, b = ka$
252. 最大公约数：$\gcd(a, b)$
253. 最小公倍数：$\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a, b)}$
254. 欧几里得算法：$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$
255. 裴蜀定理：$\gcd(a, b) = d \Rightarrow \exists x, y, ax + by = d$
256. 模运算：$a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b)$
257. 同余性质：若 $a \equiv b \pmod m$，$c \equiv d \pmod m$，则 $a + c \equiv b + d \pmod m$
258. 模乘法：$a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m$
259. 模幂：$a^k \bmod m$ 可快速幂计算
260. 费马小定理：若 $p$ 为素数，$a \not\equiv 0 \pmod p$，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$

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🔹 2. 素数与合数

261. 素数定义：大于 1，只有 1 和自身两个约数
262. 合数：不是素数且大于 1
263. 唯一分解定理：任意整数可唯一分解为素数乘积（不计顺序）
264. 埃拉托斯特尼筛法：求素数表
265. 素数有无穷多个（欧几里得）

9.物理公式

以下是 500 条常见、重要、经典的物理公式，按 领域分类整理，每一个公式都支持直接复制（LaTeX 格式，也可转为普通文本或代码使用），涵盖 力学、热学、电磁学、光学、近代物理、原子物理、核物理、流体力学、相对论、量子力学 等核心领域，适合 中学、大学、竞赛、科研 使用。

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⚡ 一、力学（1–100）

1. 运动学（1–20）

1. 位移公式：$s = v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2$
2. 速度公式：$v = v_0 + a t$
3. 速度-位移关系：$v^2 = v_0^2 + 2 a s$
4. 平均速度：$\bar{v} = \dfrac{s}{t} = \dfrac{v_0 + v}{2}$
5. 匀速直线运动位移：$s = v t$
6. 自由落体位移：$h = \dfrac{1}{2} g t^2$
7. 自由落体速度：$v = g t$
8. 匀变速直线运动位移差：$\Delta s = a T^2$
9. 匀速圆周线速度：$v = \omega r$
10. 匀速圆周角速度：$\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{2\pi}{T}$
11. 匀速圆周向心加速度：$a_c = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$
12. 匀速圆周向心力：$F_c = m \dfrac{v^2}{r} = m \omega^2 r$
13. 瞬时速度（微分）：$v = \dfrac{ds}{dt}$
14. 瞬时加速度：$a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$
15. 匀加速直线位移（初速为0）：$s = \dfrac{1}{2} a t^2$
16. 匀速圆周周期与频率：$T = \dfrac{1}{f}, \ \omega = 2\pi f$
17. 斜抛运动水平位移：$x = v_{0x} t$
18. 斜抛运动竖直位移：$y = v_{0y} t - \dfrac{1}{2} g t^2$
19. 斜抛运动射程（无阻力）：$R = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$
20. 斜抛运动最大高度：$H = \dfrac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$

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2. 动力学（21–40）

21. 牛顿第一定律（惯性定律）：$\sum F = 0 \Rightarrow a = 0$
22. 牛顿第二定律：$F = m a$
23. 牛顿第三定律：$F_{12} = -F_{21}$
24. 重力：$F_g = m g$
25. 重力势能：$E_p = m g h$
26. 弹力（胡克定律）：$F = -k x$
27. 摩擦力（静摩擦）：$f_s \le \mu_s N$
28. 摩擦力（动摩擦）：$f_k = \mu_k N$
29. 滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反
30. 正压力：$N = m g \cos \theta$（斜面）
31. 斜面上物体下滑力：$F_{\parallel} = m g \sin \theta$
32. 斜面支持力：$N = m g \cos \theta$
33. 向心力一般式：$F = m \dfrac{v^2}{r} = m \omega^2 r$
34. 离心力（非真实力）：观察者视角中的虚拟力
35. 万有引力：$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
36. 万有引力常数：$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}$
37. 第一宇宙速度：$v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
38. 第二宇宙速度：$v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$
39. 第三宇宙速度：$v_3 \approx 16.7 \ \mathrm{km/s}$
40. 动量：$p = m v$

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3. 动量与冲量（41–50）

41. 动量定理：$\vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v}$
42. 冲量：$I = F \Delta t = \Delta p$
43. 动量守恒（无外力）：$\sum p_{\text{初}} = \sum p_{\text{末}}$
44. 弹性碰撞动能守恒：$\dfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \text{不变}$
45. 完全非弹性碰撞：两物体共速
46. 一维弹性碰撞公式：$v_1' = \dfrac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
47. 碰撞后速度（一般）：利用动量守恒 + 能量关系
48. 火箭推进动量守恒：$0 = m v + (M - m) V$
49. 变质量系统：$F = m \dfrac{dv}{dt} + v_{\text{rel}} \dfrac{dm}{dt}$
50. 平均动量：$\bar{p} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$

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4. 功与能（51–70）

51. 功的定义：$W = F s \cos \theta$
52. 功率：$P = \dfrac{W}{t} = F v$
53. 动能：$E_k = \dfrac{1}{2} m v^2$
54. 动能定理：$W = \Delta E_k = \dfrac{1}{2} m v^2 - \dfrac{1}{2} m v_0^2$
55. 重力势能：$E_p = m g h$
56. 弹性势能：$E_p = \dfrac{1}{2} k x^2$
57. 机械能守恒：$E_k + E_p = \text{常数}$
58. 功能原理：$W_{\text{非保守力}} = \Delta E_{\text{机械}} + \Delta E_{\text{内}}$
59. 能量守恒定律：$\sum E_{\text{初}} = \sum E_{\text{末}}$
60. 势能零点可任取
61. 动能+势能=机械能
62. 机械能损失：$\Delta E = E_{\text{初}} - E_{\text{末}}$
63. 功的正负：力与位移夹角决定
64. 斜面功的计算：$W = m g h$（与路径无关）
65. 圆周运动向心力不做功
66. 重力做功与路径无关
67. 弹力做功：$W = -\Delta E_p$
68. 摩擦力做功：$W_f = -f_k s$
69. 动能和势能转化
70. 机械效率：$\eta = \dfrac{W_{\text{有用}}}{W_{\text{总}}}$

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5. 刚体与转动（71–100）

71. 转动惯量（质点）：$I = m r^2$
72. 转动动能：$E_k = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
73. 角动量：$L = I \omega = m v r$
74. 角动量守恒：$\sum L = \text{常数（无外力矩）}$
75. 力矩：$\tau = F r \sin \theta$
76. 转动牛顿第二定律：$\tau = I \alpha$
77. 角加速度：$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
78. 匀角加速度转动：$\theta = \omega_0 t + \dfrac{1}{2} \alpha t^2$
79. 转动动能定理：$W = \Delta E_k = \dfrac{1}{2} I \omega^2 - \dfrac{1}{2} I \omega_0^2$
80. 角动量变化：$\Delta L = \tau \Delta t$
81. 回转半径：$k = \sqrt{\dfrac{I}{m}}$
82. 圆盘转动惯量：$I = \dfrac{1}{2} M R^2$
83. 圆环转动惯量：$I = M R^2$
84. 实心球转动惯量：$I = \dfrac{2}{5} M R^2$
85. 长杆（中心）：$I = \dfrac{1}{12} M L^2$
86. 长杆（端点）：$I = \dfrac{1}{3} M L^2$
87. 角速度单位：$\mathrm{rad/s}$
88. 转速与角速度：$\omega = 2 \pi n$
89. 转动中的力分解
90. 离心力（视在力）：$F_{\text{离心}} = m \omega^2 r$
91. 科里奥利力：$F_c = 2 m v \omega$
92. 转动中的功：$W = \tau \Delta \theta$
93. 飞轮储能：利用转动动能
94. 陀螺效应
95. 角动量守恒应用（跳水、滑冰）
96. 转动和平动的组合
97. 滚动物体的动能：$E_k = \dfrac{1}{2} m v^2 + \dfrac{1}{2} I \omega^2$
98. 无滑动滚动条件：$v = \omega R$
99. 转动中的功率：$P = \tau \omega$
100. 转动中的力矩平衡：$\sum \tau = 0$ 以下是 物理公式 101–150（热学部分），涵盖 热力学基础、理想气体、热力学定律、内能、熵、分子动理论 等核心内容，所有公式 均可直接复制（LaTeX 格式），适合中学、大学、竞赛及科研使用。

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🔥 二、热学（101–150）

1. 温度与温标（101–105）

101. 摄氏温度与开尔文温度：$T(K) = T(°C) + 273.15$
102. 华氏温度与摄氏温度：$T(°F) = \dfrac{9}{5} T(°C) + 32$
103. 热力学温度定义：绝对零度为 $0 \ \mathrm{K}$（约 $-273.15°C$）
104. 理想气体温标（与热力学温标一致）
105. 温度是分子平均动能的宏观表现：$\overline{E_k} \propto T$

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2. 热量与比热容（106–115）

106. 热量定义：$Q$ 表示系统吸收或放出的热
107. 热量公式（比热容）：$Q = c m \Delta T$
108. 比热容定义：$c = \dfrac{Q}{m \Delta T}$（单位：$\mathrm{J/(kg \cdot K)}$）
109. 水的比热容：$c_{\text{水}} \approx 4.2 \times 10^3 \ \mathrm{J/(kg \cdot °C)}$
110. 热平衡方程：$Q_{\text{吸}} = Q_{\text{放}}$
111. 热量单位换算：$1 \ \mathrm{cal} = 4.186 \ \mathrm{J}$
112. 千卡与焦耳：$1 \ \mathrm{kcal} = 4186 \ \mathrm{J}$
113. 热容（物体）：$C = \dfrac{Q}{\Delta T}$（单位：$\mathrm{J/K}$）
114. 比热容与热容关系：$C = c m$
115. 相变潜热（吸热）：$Q = m L$（如熔化、汽化）

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3. 理想气体状态方程（116–125）

116. 理想气体状态方程：$p V = n R T$
117. 理想气体常数：$R \approx 8.314 \ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$
118. 理想气体摩尔体积（标准状况）：$V_m \approx 22.4 \ \mathrm{L/mol} \ (0°C, 1 \ \mathrm{atm})$
119. 摩尔数：$n = \dfrac{m}{M}$（$M$ 为摩尔质量）
120. 理想气体方程（常用形式）：$p V = \dfrac{m}{M} R T$
121. 理想气体压强公式（微观）：$p = \dfrac{2}{3} n \overline{E_k}$
122. 理想气体密度：$\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{p M}{R T}$
123. 玻意耳定律（等温过程）：$p_1 V_1 = p_2 V_2$（$T$ 不变）
124. 查理定律（等容过程）：$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$（$V$ 不变）
125. 盖-吕萨克定律（等压过程）：$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$（$p$ 不变）

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4. 内能与热力学第一定律（126–135）

126. 内能定义：系统内部所有微观粒子能量总和
127. 理想气体内能（仅动能）：$U = n C_V T$
128. 热力学第一定律：$\Delta U = Q - W$
129. 功的符号规定：系统对外做功 $W > 0$，外界对系统做功 $W < 0$
130. 热量符号：吸热 $Q > 0$，放热 $Q < 0$
131. 等容过程（体积不变）：$W = 0 \Rightarrow \Delta U = Q$
132. 等压过程：$W = p \Delta V$
133. 等温过程：$\Delta U = 0 \Rightarrow Q = W$
134. 绝热过程：$Q = 0 \Rightarrow \Delta U = -W$
135. 定容热容：$C_V = \dfrac{Q}{n \Delta T} \ (V \text{不变})$

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5. 热力学第二定律与熵（136–145）

136. 热力学第二定律（克劳修斯表述）：热量不能自发从低温传到高温
137. 热力学第二定律（开尔文表述）：不可能从单一热源吸热完全做功
138. 熵的定义：$S = k \ln \Omega$（玻尔兹曼公式）
139. 熵变：$\Delta S = \int \dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}$
140. 熵增原理：孤立系统 $\Delta S \ge 0$
141. 可逆过程熵变：$\Delta S = \dfrac{Q}{T}$
142. 不可逆过程熵增加
143. 热机效率：$\eta = \dfrac{W}{Q_{\text{吸}}} = 1 - \dfrac{Q_{\text{放}}}{Q_{\text{吸}}}$
144. 卡诺热机效率：$\eta_C = 1 - \dfrac{T_{\text{冷}}}{T_{\text{热}}}$
145. 热泵与制冷机原理基于热力学循环

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6. 分子动理论与统计物理（146–150）

146. 理想气体分子数密度：$n = \dfrac{N}{V} = \dfrac{p}{k T}$
147. 理想气体压强微观公式：$p = \dfrac{1}{3} n m \overline{v^2}$
148. 分子平均平动动能：$\overline{E_k} = \dfrac{3}{2} k T$
149. 玻尔兹曼常数：$k \approx 1.38 \times 10^{-23} \ \mathrm{J/K}$
150. 阿伏伽德罗常数：$N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ \mathrm{mol^{-1}}$ 以下是 物理公式 151–200（电磁学部分），涵盖 静电学、电场、电势、导体与电容器、电流与电路、磁场、电磁感应、交流电 等核心内容，所有公式 均可直接复制（LaTeX 格式），适合 中学、大学、竞赛及科研 使用。

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以下是光学中常用的物理公式，已整理为清晰、可直接复制的格式（支持文本粘贴使用）：

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一、几何光学（光线传播与成像）

1. 折射定律（斯涅尔定律） $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ （$n_1, n_2$：介质折射率；$\theta_1, \theta_2$：入射角/折射角）
2. 透镜成像公式（高斯公式） $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ （$u$：物距；$v$：像距；$f$：焦距；实正虚负）
3. 放大率公式 $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ （$h_i, h_o$：像高/物高；负号表示倒像）
4. 薄透镜焦距公式（透镜制造者公式） $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ （$n$：透镜材料折射率；$R_1, R_2$：两球面曲率半径，符号规则：凸为正，凹为负）

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二、波动光学（光的干涉、衍射、偏振）

1. 光速与波长/频率关系 $c = \lambda u$ 或 $v = \lambda f$ （$c$：真空光速≈$3 \times 10^8 \, \text{m/s}$；$v$：介质中光速；$\lambda$：波长；$\nu/f$：频率）
2. 双缝干涉条纹间距 $\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$ （$\Delta x$：相邻亮纹间距；$D$：双缝到屏距离；$d$：双缝间距）
3. 单缝衍射暗纹条件 $a \sin \theta = k\lambda$ （$k = \pm 1, \pm 2, \dots$） （$a$：单缝宽度；$\theta$：衍射角）
4. 布拉格公式（X射线衍射） $2d \sin \theta = k\lambda$ （$k = 1, 2, 3, \dots$） （$d$：晶面间距）
5. 马吕斯定律（偏振光强度） $I = I_0 \cos^2 \theta$ （$I_0$：入射偏振光强度；$\theta$：偏振方向与检偏器夹角）

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三、量子光学（光电效应等）

1. 光电效应方程 $h\nu = W + E_k$ （$h$：普朗克常数≈$6.63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$；$\nu$：光频率；$W$：逸出功；$E_k$：光电子最大动能）
2. 截止频率（红限频率） $\nu_0 = \frac{W}{h}$ （$\nu_0$：能发生光电效应的最小频率）

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四、常用常数

• 真空光速 $c \approx 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}$
• 普朗克常数 $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$
• 普朗克常数（简化）$h \approx 4.14 \times 10^{-15} \, \text{eV·s}$
• 真空折射率 $n_0 = 1$

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以下是 经典力学（Classical Mechanics） 的核心公式分类整理，涵盖 运动学、动力学、能量与功、动量、刚体与转动、振动与波动 等模块，所有公式均标注清晰，可直接复制使用👇

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🔹 一、运动学（Kinematics）

描述物体运动的规律（不涉及受力分析）。

1. 直线运动（匀变速直线运动）

公式	说明
$v = v_0 + at$	速度公式（初速 $v_0$，加速度 $a$，时间 $t$）
$s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$	位移公式
$v^2 - v_0^2 = 2 a s$	速度-位移关系（不含时间 $t$）
$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{s}{t}$	平均速度
$\Delta s = a T^2$	匀变速直线运动中，连续相等时间间隔的位移差

2. 自由落体运动（仅受重力，初速 $v_0 = 0$）

公式	说明
$v = g t$	速度
$h = \frac{1}{2} g t^2$	下落高度
$v^2 = 2 g h$	速度-高度关系

3. 竖直上抛运动（初速 $v_0$ 向上，加速度 $-g$）

公式	说明
$v = v_0 - g t$	速度
$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$	位移
$v^2 - v_0^2 = -2 g h$	速度-高度关系
$H_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2 g}$	最大上升高度
$t_{\text{总}} = \frac{2 v_0}{g}$	上升+下落总时间

4. 平抛运动（水平初速 $v_0$，竖直自由落体）

公式	说明
水平方向：$v_x = v_0$，$x = v_0 t$	匀速直线运动
竖直方向：$v_y = g t$，$y = \frac{1}{2} g t^2$	自由落体运动
合速度：$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$，方向 $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$	速度合成
合位移：$s = \sqrt{x^2 + y^2}$，方向 $\tan \phi = \frac{y}{x}$	位移合成
运动时间：$t = \sqrt{\frac{2 y}{g}}$	由高度决定

5. 圆周运动（匀速圆周运动）

公式	说明
线速度：$v = \frac{s}{t} = \frac{2 \pi r}{T} = \omega r$
角速度：$\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f$
周期与频率：$T = \frac{1}{f}$
向心加速度：$a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4 \pi^2 r}{T^2}$
向心力：$F_n = m a_n = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r$

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🔹 二、动力学（Dynamics）

研究 力与运动的关系（牛顿运动定律）。

1. 牛顿三大定律

公式	说明
牛顿第一定律（惯性定律）	若 $\sum F = 0$，物体保持静止或匀速直线运动
牛顿第二定律（核心公式）	$\sum F = m a$（合力 = 质量 × 加速度）
牛顿第三定律（作用力与反作用力）	$F_{12} = -F_{21}$（大小相等，方向相反）

2. 常见力

公式	说明
重力：$G = m g$	$g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$（地球表面）
胡克定律（弹簧弹力）：$F = -k x$	$k$ 为劲度系数，$x$ 为形变量
滑动摩擦力：$f = \mu N$	$\mu$ 为动摩擦因数，$N$ 为正压力
静摩擦力：$0 \leq f_s \leq f_{s,\text{max}} = \mu_s N$	最大静摩擦力 $\mu_s$ 为静摩擦因数
万有引力：$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$	$G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$

3. 圆周运动的动力学

公式	说明
向心力：$F_n = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r$	由牛顿第二定律推导

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🔹 三、功与能（Work & Energy）

研究 力做功与能量转化。

1. 功（Work）

公式	说明
恒力做功：$W = F s \cos \theta$	$\theta$ 为力与位移夹角
重力做功：$W_g = -m g \Delta h$	只与高度差有关
弹力做功：$W = -\frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$	弹簧弹性势能变化

2. 动能（Kinetic Energy）

公式	说明
动能：$E_k = \frac{1}{2} m v^2$
动能定理：$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2$	合力做功 = 动能变化

3. 势能与机械能

公式	说明
重力势能：$E_p = m g h$	参考点任意选取
弹性势能：$E_p = \frac{1}{2} k x^2$	弹簧形变储存的能量
机械能：$E = E_k + E_p$
机械能守恒（仅保守力做功）：$E_{\text{初}} = E_{\text{末}}$

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🔹 四、动量（Momentum）

研究 力对时间的累积效应。

公式	说明
动量：$p = m v$
冲量：$I = F \Delta t = \Delta p$	力 × 时间 = 动量变化
动量定理：$F \Delta t = m v - m v_0$
动量守恒（无外力）：$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$
弹性碰撞（一维）：

$$v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2}, \quad v_2' = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

| 完全非弹性碰撞（一维）：

$$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

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🔹 五、刚体与转动（Rotational Motion）

（适用于 刚体转动，如轮子、齿轮等）

公式	说明
角速度：$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$
线速度与角速度关系：$v = \omega r$
角加速度：$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$
匀角加速转动：$\omega = \omega_0 + \alpha t$，$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
转动惯量（常见形状）：

• 质点：$I = m r^2$
• 细杆（绕中心）：$I = \frac{1}{12} M L^2$
• 圆盘（绕中心）：$I = \frac{1}{2} M R^2$ | 转动动能：$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$ | | 力矩（扭矩）：$\tau = F r \sin \theta$ | | 转动定律（类似牛顿第二定律）：$\tau = I \alpha$ |

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🔹 六、振动与波动（Oscillations & Waves）

1. 简谐振动（弹簧振子 / 单摆）

公式	说明
回复力：$F = -k x$	胡克定律（负号表示方向相反）
弹簧振子周期：$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
单摆周期（小角度近似）：$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

2. 机械波

公式	说明
波速：$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$
声速（15°C 空气）：$v \approx 340\ \text{m/s}$

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核物理

好的，这是为您整理的**核物理（原子核物理）**核心公式，按主题分类，方便您查阅和复制。

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🧬 一、基本物理量

物理量	公式	说明
质量数	$A = Z + N$	核子总数
核子数密度	$n = \dfrac{N}{V}$	单位体积内的核子数
原子核半径	$R = R_0 A^{1/3}$	$R_0 \approx 1.2\times 10^{-15}\,\text{m}$
原子核密度	$\rho = \dfrac{m}{V} \approx \dfrac{3m_p}{4\pi R_0^3}$	近似为常数
原子质量单位	$1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}/c^2$	质量与能量的换算基准

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⚛️ 二、结合能与质量亏损

物理量	公式	说明
质量亏损	$\Delta m = (Z m_p + N m_n) - m_{\text{核}}$	或 $\Delta m = Z m(^1\text{H}) + N m_n - m_{\text{核}}$
结合能	$E_b = \Delta m\,c^2$	将核子分开所需的能量
比结合能	$\varepsilon = \dfrac{E_b}{A}$	每个核子的平均结合能
平均结合能曲线	-	反映核的稳定性

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☢️ 三、放射性衰变

1. 衰变基本规律

物理量	公式	说明
衰变定律	$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$	放射性核素随时间减少的规律
活度	$A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$	单位时间衰变的核数
半衰期	$T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \approx \dfrac{0.693}{\lambda}$	半数原子核发生衰变所需时间
平均寿命	$\tau = \dfrac{1}{\lambda}$	原子核平均存在时间
活度与半衰期关系	$A_0 = \dfrac{0.693\,N_0}{T_{1/2}}$	初始活度计算公式

2. 常见衰变类型

衰变类型	反应式	说明
α 衰变	$_Z^A X \to _{Z-2}^{A-4} Y + _2^4\text{He}$	放出 α 粒子 ($_2^4\text{He}$)
β⁻ 衰变	$_Z^A X \to _{Z+1}^A Y + e^- + \bar\nu_e$	放出电子和反中微子
β⁺ 衰变	$_Z^A X \to _{Z-1}^A Y + e^+ + \nu_e$	放出正电子和中微子
电子俘获(EC)	$_Z^A X + e^- \to _{Z-1}^A Y + \nu_e$	原子核俘获一个轨道电子
γ 衰变	$_Z^A X^* \to _Z^A X + \gamma$	激发态核跃迁到基态，放出 γ 光子

3. 衰变能

物理量	公式	说明
衰变能	$Q = (m_{\text{母}} - m_{\text{子}} - m_{\text{放}})\,c^2$	衰变过程释放的能量
α 衰变能	$Q_\alpha = [m(^A_Z X) - m(^{A-4}_{Z-2} Y) - m(^4_2\text{He})]\,c^2$	通常分配给 α 粒子和子核的动能
β⁻ 衰变能	$Q_{\beta^-} = [m(^A_Z X) - m(^A_{Z+1} Y)]\,c^2$	由电子、中微子和反冲核分享
β⁺ 衰变能	$Q_{\beta^+} = [m(^A_Z X) - m(^A_{Z-1} Y) - 2m_e]\,c^2$	需额外提供 $2m_e c^2$ 的质量
电子俘获能	$Q_{\text{EC}} = [m(^A_Z X) - m(^A_{Z-1} Y)]\,c^2 - E_b$	$E_b$ 为被俘获电子的结合能

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⚛️ 四、核反应

1. 核反应方程与守恒定律

物理量	公式	说明
核反应通式	$a + X \to Y + b$	$a$: 入射粒子, $X$: 靶核, $Y$: 产物核, $b$: 出射粒子
质量数守恒	$\sum A_{\text{初}} = \sum A_{\text{末}}$	反应前后核子总数不变
电荷数守恒	$\sum Z_{\text{初}} = \sum Z_{\text{末}}$	反应前后总电荷数不变
能量守恒	$\sum (m c^2 + T)_{\text{初}} = \sum (m c^2 + T)_{\text{末}} + Q$	$Q$ 为反应能，$T$ 为动能
动量守恒	$\sum \vec p_{\text{初}} = \sum \vec p_{\text{末}}$	反应前后总动量不变

2. 常见核反应类型

反应类型	反应式	说明
中子俘获	$_Z^A X + n \to _{Z}^{A+1} X + \gamma$	放出 γ 射线，是重要吸收反应
裂变反应	$^{235}_{92}\text{U} + n \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3n + \sim 200\ \text{MeV}$	重核分裂成中等质量核，释放能量和中子
聚变反应	$^2_1\text{H} + ^3_1\text{H} \to ^4_2\text{He} + n + 17.6\ \text{MeV}$	轻核结合成较重核，释放巨大能量

3. 反应能 Q 值

物理量	公式	说明
Q 值计算	$Q = (m_a + m_X - m_Y - m_b)\,c^2$	也可表示为 $Q = (T_Y + T_b) - T_a$
放能反应	$Q > 0$	反应能释放出来
吸能反应	$Q < 0$	需要阈能才能发生

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⚛️ 五、中子物理与反应堆基础

1. 微观截面与宏观截面

物理量	公式	说明
微观截面	$\sigma = \dfrac{I_a}{I_0 n t}$	单位：靶 (barn, $1\ \text{b} = 10^{-28}\,\text{m}^2$)
宏观截面	$\Sigma = N \sigma$	单位：$\text{m}^{-1}$，表示一个中子在单位长度内发生某类反应的概率
总截面	$\sigma_t = \sigma_{\text{散射}} + \sigma_{\text{吸收}}$	吸收截面可细分为 $\sigma_\gamma, \sigma_f, \sigma_{n,\alpha}$ 等
平均自由程	$\lambda = \dfrac{1}{\Sigma}$	中子在发生反应前平均自由穿行的距离

2. 中子通量与反应率

物理量	公式	说明
中子通量密度	$\phi(\mathbf r, E) = n(\mathbf r, E)\,v(E)$	单位：$\text{m}^{-2}\text{s}^{-1}$，表示单位时间穿过单位面积的中子数
总中子通量	$\phi(\mathbf r) = \int_0^\infty \phi(\mathbf r, E)\,dE$	对全能量积分
反应率密度	$R(\mathbf r, E) = \Sigma(E)\,\phi(\mathbf r, E)$	单位：$\text{m}^{-3}\text{s}^{-1}$，单位体积内的反应次数
总反应率	$R = \int_V R(\mathbf r)\,dV$	整个系统的总反应次数

3. 反应堆临界与安全

物理量	公式	说明
有效增殖因数	$k_{\text{eff}} = \dfrac{\text{一代中子产生率}}{\text{一代中子消失率}}$	$k_{\text{eff}} = 1$ 为临界状态
四因子公式	$k_\infty = \eta\,f\,p\,\varepsilon$	无限介质增殖系数
不泄漏概率	$P_L = \dfrac{\text{被吸收的中子数}}{\text{被吸收的中子数} + \text{泄漏的中子数}}$	反映中子泄漏程度
临界条件	$k_{\text{eff}} = 1$ 或 $B_g^2 = B_m^2$	$B_g^2$ 为几何曲率，$B_m^2$ 为材料曲率

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📋 六、常用常数

常数名称	数值与单位
真空中光速	$c \approx 3.00\times 10^8\ \text{m/s}$
电子质量	$m_e \approx 0.511\ \text{MeV}/c^2$
质子质量	$m_p \approx 938.272\ \text{MeV}/c^2$
中子质量	$m_n \approx 939.565\ \text{MeV}/c^2$
原子质量单位	$1\ \text{u} \approx 931.5\ \text{MeV}/c^2$
电子伏特	$1\ \text{eV} = 1.602\times 10^{-19}\ \text{J}$
普朗克常数	$h \approx 4.136\times 10^{-15}\ \text{eV·s}$
约化普朗克常数	$\hbar = h/(2\pi) \approx 6.582\times 10^{-16}\ \text{eV·s}$
玻尔半径	$a_0 \approx 0.529\times 10^{-10}\ \text{m}$

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📐 一、力学

1. 运动学

直线运动

公式名称	公式
匀速直线运动	$v = \frac{s}{t}$
匀变速直线运动-速度	$v = v_0 + at$
匀变速直线运动-位移	$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
匀变速直线运动-速度位移关系	$v^2 - v_0^2 = 2as$
匀变速直线运动-平均速度	$\bar v = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{s}{t}$
匀变速直线运动-连续相等时间位移差	$\Delta s = aT^2$
自由落体运动-速度	$v = gt$
自由落体运动-位移	$h = \frac{1}{2}gt^2$
自由落体运动-速度位移关系	$v^2 = 2gh$
竖直上抛运动-位移	$h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$
竖直上抛运动-速度	$v = v_0 - gt$
竖直上抛运动-上升最大高度	$H_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$
竖直上抛运动-往返时间	$t_{\text{总}} = \frac{2v_0}{g}$

平抛运动

公式名称	公式
水平方向-速度	$v_x = v_0$
竖直方向-速度	$v_y = gt$
水平方向-位移	$x = v_0 t$
竖直方向-位移	$y = \frac{1}{2}gt^2$
运动时间	$t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$
合速度大小	$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$
合速度方向	$\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}$
合位移大小	$s = \sqrt{x^2 + y^2}$
合位移方向	$\tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{gt}{2v_0}$

圆周运动与万有引力

公式名称	公式
线速度	$v = \frac{s}{t} = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$
角速度	$\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
周期与频率关系	$T = \frac{1}{f}$
向心加速度	$a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2}r$
向心力	$F_n = m a_n = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r$
开普勒第三定律	$\frac{T^2}{a^3} = \text{常量}$
万有引力定律	$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$
天体表面重力加速度	$g = \frac{GM}{R^2}$
卫星环绕速度	$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
卫星环绕角速度	$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$
卫星环绕周期	$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
第一宇宙速度	$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 7.9\ \text{km/s}$
第二宇宙速度	$v_2 = \sqrt{2}v_1 \approx 11.2\ \text{km/s}$
第三宇宙速度	$v_3 \approx 16.7\ \text{km/s}$
地球同步卫星高度	$T \approx 24\ \text{h},\ r \approx R + 3.6\times 10^4\ \text{km}$

2. 动力学

公式名称	公式
牛顿第一定律	若 $\sum \vec F = 0$，则物体保持静止或匀速直线运动
牛顿第二定律	$\sum \vec F = m\vec a$
牛顿第三定律	$\vec F_{12} = -\vec F_{21}$
超重现象	$N > mg$（视重增加）
失重现象	$N < mg$（视重减小）
超重失重判断	$a$ 向上时超重，$a$ 向下时失重

3. 动量与冲量

公式名称	公式
动量	$\vec p = m\vec v$
冲量	$\vec I = \Delta \vec p = \vec F \Delta t$
动量定理	$\vec I = \Delta \vec p$ 或 $\vec F \Delta t = m\vec v - m\vec v_0$
动量守恒定律	若 $\sum \vec F_{\text{外}} = 0$，则 $\sum \vec p_{\text{初}} = \sum \vec p_{\text{末}}$
弹性碰撞-一维	$v_{1}' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2},\quad v_{2}' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$
完全非弹性碰撞-一维	$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

4. 功和能

公式名称	公式
恒力做功	$W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\theta$
重力做功	$W_g = -mg\Delta h$
弹簧弹力做功	$W_{\text{弹}} = -\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
动能	$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
动能定理	$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$
重力势能	$E_p = mgh$（以某水平面为零势能面）
弹簧弹性势能	$E_p = \frac{1}{2}kx^2$
机械能	$E = E_k + E_p$
机械能守恒定律	若只有保守力做功，则 $E_{\text{初}} = E_{\text{末}}$
功能原理	$W_{\text{非保守}} = \Delta E = \Delta E_k + \Delta E_p$

5. 常见力

公式名称	公式
重力	$G = mg$
胡克定律	$F = -kx$
滑动摩擦力	$f = \mu N$
静摩擦力	$0 \le f_s \le f_{s\max} = \mu_s N$
库仑力	$F = k\frac{
电场力	$\vec F = q\vec E$
安培力	$\vec F = I\vec l \times \vec B$
洛伦兹力	$\vec f = q\vec v \times \vec B$

6. 振动与波

公式名称	公式
简谐振动回复力	$F = -kx$
简谐振动周期-弹簧振子	$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
简谐振动周期-单摆	$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$（$l\gg r$，$\theta$ 较小）
机械波波速	$v = \frac{s}{t} = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$
声波波速-空气中	$v \approx 331 + 0.6t\ \text{m/s}$（$t$ 为摄氏温度）

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🔥 二、热学

公式名称	公式
热量-比热容	$Q = cm\Delta t$
热平衡方程	$Q_{\text{吸}} = Q_{\text{放}}$
热值-固体/液体	$q = \frac{Q}{m}$
热值-气体	$q = \frac{Q}{V}$
燃料燃烧放热	$Q = mq$ 或 $Q = Vq$
热力学第一定律	$\Delta U = Q + W$
理想气体状态方程	$pV = nRT$
热力学温度与摄氏温度	$T = t + 273.15\ \text{K}$

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⚡️ 三、电磁学

1. 电场与电势

公式名称	公式
电场强度定义	$\vec E = \frac{\vec F}{q}$
点电荷电场强度	$E = k\frac{
电势定义	$\varphi = \frac{E_p}{q}$
点电荷电势	$\varphi = k\frac{q}{r}$
电势差定义	$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \frac{W_{AB}}{q}$
电势差与电场力做功	$W_{AB} = qU_{AB}$
匀强电场场强与电势差	$E = \frac{U}{d}$
电容定义	$C = \frac{Q}{U}$
平行板电容器电容	$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}$
电容器储能	$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C}$

2. 恒定电流

公式名称	公式
电流定义	$I = \frac{q}{t}$
电阻定义	$R = \frac{U}{I}$
电阻定律	$R = \rho\frac{l}{S}$
欧姆定律	$I = \frac{U}{R}$
电功	$W = UIt = I^2 R t = \frac{U^2}{R}t = Pt$
电功率	$P = \frac{W}{t} = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R}$
焦耳定律	$Q = I^2 R t$
串联电路-电流	$I = I_1 = I_2 = \cdots$
串联电路-电压	$U = U_1 + U_2 + \cdots$
串联电路-电阻	$R = R_1 + R_2 + \cdots$
串联电路-分压	$\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$
并联电路-电流	$I = I_1 + I_2 + \cdots$
并联电路-电压	$U = U_1 = U_2 = \cdots$
并联电路-电阻	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$
并联电路-分流	$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$

3. 磁场与电磁感应

公式名称	公式
磁感应强度定义	$B = \frac{F_{\max}}{IL}$
安培力	$F = BIL\sin\theta$
洛伦兹力	$f = qvB\sin\theta$
法拉第电磁感应定律	$\mathcal E = -N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$
导体棒切割磁感线	$\mathcal E = BLv\sin\theta$
自感电动势	$\mathcal E = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$
变压器电压比	$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$
变压器电流比	$\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1}$（理想变压器）

4. 电磁波与光学

公式名称	公式
电磁波波速	$c = \lambda f$
折射率定义	$n = \frac{\sin i}{\sin r}$
折射率与光速	$n = \frac{c}{v}$
全反射临界角	$\sin C = \frac{1}{n}$
透镜成像公式	$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$
透镜放大率	$m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$

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⚛️ 四、近代物理

公式名称	公式
光子能量	$E = h\nu$
光子动量	$p = \frac{h}{\lambda}$
光电效应方程	$h\nu = W_0 + E_{k\max}$
德布罗意波长	$\lambda = \frac{h}{p}$
玻尔氢原子能级	$E_n = -\frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}$
质能方程	$E = mc^2$
相对论动量	$\vec p = \gamma m_0 \vec v$
相对论能量-动量关系	$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$
不确定关系	$\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$

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📋 五、常用常数与单位换算

名称	数值与单位
真空中光速	$c = 3.00\times 10^8\ \text{m/s}$
万有引力常数	$G \approx 6.67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$
普朗克常数	$h \approx 6.63\times 10^{-34}\ \text{J·s}$
约化普朗克常数	$\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.05\times 10^{-34}\ \text{J·s}$
元电荷	$e \approx 1.60\times 10^{-19}\ \text{C}$
真空介电常数	$\varepsilon_0 \approx 8.85\times 10^{-12}\ \text{F/m}$
真空磁导率	$\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \text{H/m}$
阿伏伽德罗常数	$N_A \approx 6.02\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
玻尔兹曼常数	$k_B \approx 1.38\times 10^{-23}\ \text{J/K}$
气体常数	$R \approx 8.31\ \text{J/(mol·K)}$
重力加速度	$g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$（常取 $10\ \text{m/s}^2$）
标准大气压	$p_0 \approx 1.01\times 10^5\ \text{Pa}$
水的密度	$\rho_{\text{水}} = 1.0\times 10^3\ \text{kg/m}^3$
水的比热容	$c_{\text{水}} = 4.2\times 10^3\ \text{J/(kg·℃)}$
声速（15℃空气）	$v \approx 340\ \text{m/s}$
单位换算-速度	$1\ \text{m/s} = 3.6\ \text{km/h}$
单位换算-密度	$1\ \text{g/cm}^3 = 10^3\ \text{kg/m}^3$
单位换算-电能	$1\ \text{kW·h} = 3.6\times 10^6\ \text{J}$

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如需特定章节（如“高中力学”）的更详尽公式列表（含推导和例题），可随时提出。

🪐 天体物理

1. 引力与轨道

• 开普勒第三定律（圆形轨道近似）：

  $$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} \approx \frac{4\pi^2}{GM}$$

• 圆轨道速度：

  $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

• 圆轨道周期：

  $$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

2. 恒星结构

• 流体静力平衡：

  $$\frac{dP}{dr} = -\,\frac{G M(r)\,\rho(r)}{r^2}$$

• 质量连续性方程：

  $$\frac{dM(r)}{dr} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

3. 宇宙学

• 弗里德曼方程（平坦宇宙 $k=0$）：

  $$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho$$

• 宇宙学红移与尺度因子关系：

  $$1+z = \frac{a_0}{a(t_{\text{发射}})}$$

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10.化学

化学元素周期表

以下是 可复制的化学元素周期表（简洁版），格式适配直接粘贴使用（如文档、表格等）：

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化学元素周期表（1-18族，1-7周期）

周期\族	1 (IA)	2 (IIA)	3 (IIIB)	4 (IVB)	5 (VB)	6 (VIB)	7 (VIIB)	8 (VIII)	9 (VIII)	10 (VIII)	11 (IB)	12 (IIB)	13 (IIIA)	14 (IVA)	15 (VA)	16 (VIA)	17 (VIIA)	18 (0)
1	H 1													He 2
2	Li 3	Be 4												B 5	C 6	N 7	O 8	F 9
3	Na 11	Mg 12												Al 13	Si 14	P 15	S 16	Cl 17
4	K 19	Ca 20	Sc 21	Ti 22	V 23	Cr 24	Mn 25	Fe 26	Co 27	Ni 28	Cu 29	Zn 30	Ga 31	Ge 32	As 33	Se 34	Br 35	Kr 36
5	Rb 37	Sr 38	Y 39	Zr 40	Nb 41	Mo 42	Tc 43	Ru 44	Rh 45	Pd 46	Ag 47	Cd 48	In 49	Sn 50	Sb 51	Te 52	I 53	Xe 54
6	Cs 55	Ba 56	La 57	Hf 72	Ta 73	W 74	Re 75	Os 76	Ir 77	Pt 78	Au 79	Hg 80	Tl 81	Pb 82	Bi 83	Po 84	At 85	Rn 86
7	Fr 87	Ra 88	Ac 89	Rf 104	Db 105	Sg 106	Bh 107	Hs 108	Mt 109	Ds 110	Rg 111	Cn 112	Nh 113	Fl 114	Mc 115	Lv 116	Ts 117	Og 118

说明：

1. 数字为原子序数（左上角），括号内为元素符号（如H氢、He氦）。
2. 族：1-2列为碱金属/碱土金属，13-18列对应主族（如17为卤素，18为稀有气体）。
3. 镧系/锕系（57-71、89-103）未展开，需时可补充。

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二、化学方程式（按反应类型分类）

以下是 完整的化学公式大全（含分子式、离子式、化学方程式、有机化学、电化学等），采用 Markdown 格式 编排，确保可复制且结构清晰，涵盖从初中到大学的基础及核心内容：

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一、基础化学式（分子式/离子式/结构式）

1. 单质（按元素周期表分类）

类别	化学式	示例（常见单质）
非金属	H₂	氢气
	O₂	氧气
	N₂	氮气
	O₃	臭氧
	F₂	氟气
	Cl₂	氯气
	Br₂	溴（液态）
	I₂	碘（固态）
	C	碳（石墨/金刚石）
	S	硫磺
金属	Fe	铁
	Cu	铜
	Al	铝
	Zn	锌
	Na	钠
	Mg	镁
	K	钾
	Ca	钙
稀有气体	He	氦气
	Ne	氖气
	Ar	氩气

2. 化合物（按类别分类）

(1) 氧化物（含氧二元化合物）

名称	化学式	备注
水	H₂O
过氧化氢	H₂O₂	双氧水
二氧化碳	CO₂	温室气体
一氧化碳	CO	有毒气体
二氧化硫	SO₂	酸雨成分
三氧化硫	SO₃
氧化铁(III)	Fe₂O₃	铁锈（赤铁矿）
氧化亚铁	FeO
四氧化三铁	Fe₃O₄	磁铁矿
氧化铜(II)	CuO	黑色固体
氧化钙	CaO	生石灰
二氧化硅	SiO₂	沙子主要成分

(2) 酸（含氢离子的化合物）

名称	化学式	备注
盐酸	HCl	氢氯酸（胃酸成分）
硫酸	H₂SO₄	强酸（浓硫酸吸水）
硝酸	HNO₃	强氧化性酸
碳酸	H₂CO₃	不稳定（分解为CO₂+H₂O）
醋酸	CH₃COOH	弱酸（食用醋成分）
磷酸	H₃PO₄

(3) 碱（金属氢氧化物）

名称	化学式	备注
氢氧化钠	NaOH	烧碱（强腐蚀性）
氢氧化钾	KOH
氢氧化钙	Ca(OH)₂	熟石灰（石灰水）
氢氧化钡	Ba(OH)₂
氨水	NH₃·H₂O	弱碱（NH₃溶于水）

(4) 盐（金属离子+酸根离子）

名称	化学式	备注
氯化钠	NaCl	食盐
氯化钾	KCl
硫酸铜(II)	CuSO₄	蓝色溶液
碳酸钠	Na₂CO₃	纯碱（苏打）
碳酸氢钠	NaHCO₃	小苏打（发酵粉）
硝酸银	AgNO₃
硫酸亚铁	FeSO₄
碳酸钙	CaCO₃	石灰石/大理石

(5) 常见离子

离子名称	离子符号	电荷	常见化合物示例
氢离子	H⁺	+1	酸（如HCl）
钠离子	Na⁺		NaCl
钾离子	K⁺		KCl
钙离子	Ca²⁺	+2	Ca(OH)₂
铁离子(III)	Fe³⁺	+3	Fe₂O₃
铜离子(II)	Cu²⁺	+2	CuSO₄
氯离子	Cl⁻	-1	NaCl
硫酸根离子	SO₄²⁻	-2	H₂SO₄
碳酸根离子	CO₃²⁻		CaCO₃
硝酸根离子	NO₃⁻	-1	HNO₃
氢氧根离子	OH⁻		NaOH

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**二、化学公式

1. 化合反应（多变一）

1. 氢气燃烧： 2H₂ + O₂ → 2H₂O（点燃，生成水）
2. 碳燃烧（充分）： C + O₂ → CO₂（点燃）
3. 硫燃烧： S + O₂ → SO₂（点燃，刺激性气体）
4. 铁生锈（缓慢氧化）： 4Fe + 3O₂ → 2Fe₂O₃（潮湿环境）

2. 分解反应（一变多）

1. 水通电分解： 2H₂O → 2H₂↑ + O₂↑（电解，氢气+氧气）
2. 碳酸钙高温分解： CaCO₃ → CaO + CO₂↑（石灰石煅烧制生石灰）
3. 过氧化氢分解： 2H₂O₂ → 2H₂O + O₂↑（二氧化锰催化制氧气）
4. 氯酸钾分解： 2KClO₃ → 2KCl + 3O₂↑（二氧化锰催化，实验室制氧）

3. 置换反应（单质置换）

1. 铁与硫酸铜： Fe + CuSO₄ → FeSO₄ + Cu（湿法炼铜，铁钉变红）
2. 锌与盐酸： Zn + 2HCl → ZnCl₂ + H₂↑（实验室制氢气）
3. 铝与硫酸铜： 2Al + 3CuSO₄ → Al₂(SO₄)₃ + 3Cu

4. 复分解反应（离子交换）

1. 盐酸与氢氧化钠（中和）： HCl + NaOH → NaCl + H₂O（生成食盐和水）
2. 碳酸钙与盐酸： CaCO₃ + 2HCl → CaCl₂ + H₂O + CO₂↑（实验室制二氧化碳）
3. 硫酸铜与氢氧化钠： CuSO₄ + 2NaOH → Cu(OH)₂↓ + Na₂SO₄（蓝色沉淀）
4. 氯化钡与硫酸钠： BaCl₂ + Na₂SO₄ → BaSO₄↓ + 2NaCl（白色沉淀）

5. 氧化还原反应（电子转移）

1. 一氧化碳还原氧化铁： 3CO + Fe₂O₃ → 2Fe + 3CO₂（工业炼铁）
2. 氢气还原氧化铜： H₂ + CuO → Cu + H₂O（加热，黑色氧化铜变红）

6. 有机化学基础

1. 甲烷燃烧： CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O（天然气燃烧）
2. 乙醇燃烧： C₂H₅OH + 3O₂ → 2CO₂ + 3H₂O
3. 葡萄糖氧化（呼吸作用）： C₆H₁₂O₆ + 6O₂ → 6CO₂ + 6H₂O

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三、特殊化学表达式

1. 电子式（简化示例）

• 水分子（H₂O）：H:O:H（氧与两个氢共用电子对）
• 钠离子（Na⁺）：[Na]⁺（失去最外层电子）

2. 结构简式（有机化学）

• 乙烯（C₂H₄）：CH₂=CH₂（含碳碳双键）
• 乙酸（醋酸）：CH₃COOH

3. 电化学（电池/电解）

• 锌铜原电池： Zn → Zn²⁺ + 2e⁻（负极氧化） Cu²⁺ + 2e⁻ → Cu（正极还原）

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3.元素的分子链

以下是您需要的 4 类化学结构/分子形式数据，按您的需求分类整理，全部可复制（支持直接粘贴到 Excel、Word、题库或化学软件中）：

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一、所有元素的常见分子形式（表格版）

原子序数	元素符号	元素中文名	常见分子形式（举例）	说明
1	H	氢	H₂	双原子分子（气体）
2	He	氦	He	单原子（稀有气体）
3	Li	锂	Li	单原子（金属晶体）
4	Be	铍	Be	单原子
5	B	硼	B（单原子）或 B₁₂（团簇）	固态为原子晶体
6	C	碳	C（石墨/金刚石）、C₆₀、CO₂、CH₄	多种同素异形体
7	N	氮	N₂	双原子分子（占空气78%）
8	O	氧	O₂（氧气）、O₃（臭氧）	双原子为主
9	F	氟	F₂	双原子气体
10	Ne	氖	Ne	单原子（稀有气体）
11	Na	钠	Na	单原子（金属）
12	Mg	镁	Mg	单原子
13	Al	铝	Al	单原子（金属晶体）
14	Si	硅	Si（单原子）或 SiO₂（网络晶体）	固态为原子晶体
15	P	磷	P₄（白磷）、P₂（红磷）	白磷为四面体分子
16	S	硫	S₈（环状分子）、S₂	常温下为S₈环
17	Cl	氯	Cl₂	双原子气体
18	Ar	氩	Ar	单原子（稀有气体）
19	K	钾	K	单原子（金属）
20	Ca	钙	Ca	单原子
26	Fe	铁	Fe	金属晶体（体心立方/面心立方）
29	Cu	铜	Cu	金属晶体（面心立方）
79	Au	金	Au	金属晶体
80	Hg	汞	Hg	液态单原子
82	Pb	铅	Pb	金属晶体

注：

• 稀有气体（He/Ne/Ar/Kr/Xe/Rn）：均为单原子分子
• 金属元素（如Na/Fe/Cu）：固态时为金属键连接的原子堆积，无独立分子链
• 碳/硅/磷/硫：存在多种同素异形体（如石墨、金刚石、S₈环等）

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二、所有双原子气体分子的化学式（题库专用）

序号	化学式	分子名称	常见存在形式
1	H₂	氢气	无色无味气体
2	N₂	氮气	空气主要成分（78%）
3	O₂	氧气	支持燃烧
4	F₂	氟气	淡黄色剧毒气体
5	Cl₂	氯气	黄绿色刺激性气体
6	Br₂	溴蒸气	红棕色气体（常温液态）
7	I₂	碘蒸气	紫色气体（常温固态）
8	O₃	臭氧	淡蓝色有臭味气体

特点：

• 均为 非金属元素组成的双原子分子
• 除 O₃（臭氧） 外，其他均为 同核双原子分子（如 H₂/N₂/O₂）
• 化学题库高频考点：氧化还原反应（如 Cl₂ + H₂O → HCl + HClO）、燃烧反应（如 H₂ + O₂ → H₂O）

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三、有机高分子链的重复单元（结构式）

高分子名称	重复单元结构式	单体	说明
聚乙烯（PE）	—[CH₂—CH₂]ₙ—	CH₂=CH₂（乙烯）	最常见的塑料，热塑性
聚丙烯（PP）	—[CH₂—CH(CH₃)]ₙ—	CH₂=CH—CH₃（丙烯）	轻质塑料
聚氯乙烯（PVC）	—[CH₂—CH(Cl)]ₙ—	CH₂=CH—Cl（氯乙烯）	含氯塑料
聚苯乙烯（PS）	—[CH₂—CH(C₆H₅)]ₙ—	CH₂=CH—C₆H₅（苯乙烯）	透明塑料
尼龙-6,6	—[NH—(CH₂)₆—NH—CO—(CH₂)₄—CO]ₙ—	己二胺 + 己二酸	合成纤维
聚对苯二甲酸乙二醇酯（PET）	—[O—CH₂—CH₂—O—CO—C₆H₄—CO]ₙ—	对苯二甲酸 + 乙二醇	涤纶纤维
蛋白质（多肽链）	—[NH—CHR—CO]ₙ—	氨基酸（如甘氨酸）	生物大分子

结构式说明：

• "n" 表示重复次数（可达数千至百万级）
• "—" 表示共价键连接，方括号内为最小重复单元
• 尼龙/PET 等含杂原子（N/O），聚乙烯/PVC 为碳链为主

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四、金属晶体中的原子排列（典型结构）

1. 金属键与原子链特征

• 金属（如Fe/Cu/Al）无独立分子链，而是通过 金属键 形成 三维原子堆积（电子云共享）。
• 常见堆积方式：
  • 体心立方（BCC）：如 铁（α-Fe，室温）、铬、钨
  • 面心立方（FCC）：如 铜（Cu）、金（Au）、铝（Al）
  • 六方密堆积（HCP）：如 镁（Mg）、锌（Zn）

2. 典型金属的原子排列示例

金属	晶体结构	原子排列特点	简化示意图（文字描述）
铁（Fe）	体心立方（BCC）	每个铁原子与8个最近邻铁原子相连，形成立方体中心+顶角结构	"立方体中心1个原子 + 8个顶角各1个（共享）"
铜（Cu）	面心立方（FCC）	每个铜原子与12个最近邻铜原子相连（面心+顶角）	"每个面中心+顶角原子紧密接触"
铁（高温γ-Fe）		比BCC结构更致密
镁（Mg）	六方密堆积（HCP）	原子按ABAB…层叠排列	"六边形层状紧密堆积"

注：

• 金属晶体无“分子链”，但存在 原子链方向性（如石墨中的碳链、金属中的位错线）。
• 实际结构 可通过 X射线衍射 观测，上述为简化模型。

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