机器数与真值

一个数在计算机中的二进制表示形式, 被称为这个数的机器数。将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。为区分正负数，机器数的最高位被用来存储符号，被称为符号位, 正数为 0 , 负数为 1。

如果计算机字长为 8 位，那么

$(+1)_{10}$ 的机器数是 00000001； 机器数 00000001的真值是 +1

$(-1)_{10}$ 的机器数是 10000001； 机器数 10000001的真值是 -1

思考一下：如果电脑直接使用机器数进行运算，(+1)+(-1)等于多少？

原码

原码就是该数值的机器数，即最高位为数值符号位，其余位表示值。这是人脑最容易理解和计算的表示方式。

[+1] = [00000001]原

[-1] = [10000001]原

思考一下：在考虑带符号的前提下，8 位二进制数的取值范围是？

[-127,127]

反码

反码的表示方法是: 正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

补码

补码的表示方法是：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其反码的基础上 +1。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

特别的：00000000 代表 0 的原码，反码以及补码

10000000 来代表 -128 的原码

那么 -128 的反码是11111111

-128 的补码也是 10000000

思考一下：使用补码进行运算，（+2）+（-2）等于多少？

2-2=2 + (-2)

= 0000 0010(原) + 1000 0010(原)

= 0000 0010(反) + 1111 1101(反)

= 0000 0010(补) + 1111 1110(补)

= 1 0000 0000(补) -- 最高位产生进位，进位舍弃

= 0000 0000(补)

= 0000 0000(反)

= 0000 0000(原)

= 0

在计算机中，所有的数均以补码形式存在。补码可以简化运算，把减法都变成加法。

总结：

正数：原码 = 反码 = 补码

练习1

填空题按照 8 位二进制填写，不足 8 位补 0。

1. 求 +119 的原码、反码和补码 {{ input(1) }}、 {{ input(2) }}、{{ input(3) }}。
2. 求 -56 的原码、反码和补码 {{ input(4) }}、 {{ input(5) }}、{{ input(6) }}。
3. 在 8 位二进制补码中，10101011 表示的数是十进制下的（ ）。

{{ select(7) }}

• 43
• -85
• -43
• -84

什么是位运算？

在现代计算机中数据都是以二进制的形式存储的，对于计算机中的每一位，都可以储存0、1两种状态。计算机对每一位进行的运算都是“位运算”，即符号位共同参与运算。

位逻辑运算符：

位逻辑运算符

位逻辑运算是将每个二进制位作为布尔值进行布尔运算，以逻辑中的真和假（ 1 和 0 ）作为运算单元，运算结果也是真或假（ 1 或 0 ）。

需要注意，位运算是针对二进制的运算，而计算机中数以补码形式存在。所以在手动进行位运算计算时，需要将数转换成二进制补码的表示形式，右对齐后再对位进行位运算。

按位与 &

运算规则：两个位都为 1 时，结果才为 1。

运算方式：将数字转换成补码，然后对位进行与运算，得出结果再转换成原码（或原码对应的十进制数）

练习2

1. 表达式 0x13 & 0x17 的值是 {{ input(8) }}；
2. 若 x=-2, y=3 则 x&y 的结果是 {{ input(9) }}；
3. 若 x=-2, y=-3 则 x&y 的结果是 {{ input(10) }}。

按位或 |

运算规则：两个位只要有一个 1，结果就为 1。

运算方式：将数字转换成补码，然后对位进行或运算，得出结果再转换成原码（或原码对应的十进制数）

练习3

1. 表达式 0x13 | 0x17 的值是 {{ input(11) }};
2. 若 x=-2，y=3 则 x | y 的结果是 {{ input(12) }};
3. 若 x=-2，y=-3 则 x | y 的结果是 {{ input(13) }}。

按位异或 ^

运算规则：两个位不同为 1，相同为 0。

运算方式：将数字转换成补码，然后对位进行异或运算，得出结果再转换成原码（或原码对应的十进制数）

练习 4

1. 表达式 0x13 ^ 0x17 的值是 {{ input(14) }};
2. 若 x=-2，y=3 则 x^y 的结果是 {{ input(15) }};
3. 若 x=-2，y=-3 则 x^y 的结果是 {{ input(16) }}。

按位取反 ~

运算规则：0 变 1，1 变 0。

运算方式：将数字转换成补码，然后对位进行取反运算，得出结果再转换成原码（或原码对应的十进制数）

练习 5

1. 表达式 ~ 0x17的值是{{ input(17) }}。
2. 表达式 ~ -3 的值是{{ input(18) }}。

位移运算符

位移运算是将一个运算对象的各位数字全部左移（或右移）若干位

左移(<<)：向左移动 X 位，数值大小变大原来的 $2^X$ 倍

右移(>>)：向右移动 X 位，数值大小缩小原来的 $2^X$ 倍

左移 <<

运算规则：向左移动 X 位，数值大小扩大原来的 $2^X$ 倍

运算方式：在不考虑溢出的情况下，将除符号位的数字整体左移，低位（右侧空位）补 0

快速运算：即直接乘以 $2^X$

右移 >>

运算规则：向右移动X位，数值大小缩小原来的2^X倍

运算方式：在不考虑溢出的情况下，将数字转换成补码，将所有的数字整体右移，高位（左侧空位）补符号位数字

快速运算：即直接除以 $2^X$，向下取整。注意负数向下取整，例如：⌊−35.0/4⌋=-9。

练习 6

1. 表达式 0x17 << 2 的值是{{ input(19) }}。
2. 表达式 -0x17 >> 2 的值是{{ input(20) }}。